2lplnja - Mathbox for Norm Megill

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Theorem 2lplnja 34905

Description: The join of two different lattice planes in a lattice volume equals the volume (version of 2lplnj 34906 in terms of atoms). (Contributed by NM, 12-Jul-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2lplnja.l
2lplnja.j	$.\/$
2lplnja.a
2lplnja.v

**Assertion**
Ref	Expression
2lplnja	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$

**Proof of Theorem 2lplnja**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2
2		2lplnja.l	. 2
3		simp11l 1172	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
4		hllat 34650	. . 3
5	3, 4	syl 17	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
6		simp121 1193	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
7		simp122 1194	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
8		2lplnja.j	. . . . . 6 $.\/$
9		2lplnja.a	. . . . . 6
10	1, 8, 9	hlatjcl 34653	. . . . 5 $/\$ $/\$ $.\/$
11	3, 6, 7, 10	syl3anc 1326	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
12		simp123 1195	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
13	1, 9	atbase 34576	. . . . 5
14	12, 13	syl 17	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
15	1, 8	latjcl 17051	. . . 4 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
16	5, 11, 14, 15	syl3anc 1326	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
17		simp2l1 1160	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
18		simp2l2 1161	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
19	1, 8, 9	hlatjcl 34653	. . . . 5 $/\$ $/\$ $.\/$
20	3, 17, 18, 19	syl3anc 1326	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
21		simp2l3 1162	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
22	1, 9	atbase 34576	. . . . 5
23	21, 22	syl 17	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
24	1, 8	latjcl 17051	. . . 4 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
25	5, 20, 23, 24	syl3anc 1326	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
26	1, 8	latjcl 17051	. . 3 $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
27	5, 16, 25, 26	syl3anc 1326	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
28		simp11r 1173	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
29		2lplnja.v	. . . 4
30	1, 29	lvolbase 34864	. . 3
31	28, 30	syl 17	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
32		simp31 1097	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
33		simp32 1098	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
34	1, 2, 8	latjle12 17062	. . . 4 $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
35	5, 16, 25, 31, 34	syl13anc 1328	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
36	32, 33, 35	mpbi2and 956	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
37	1, 2, 8	latlej2 17061	. . . . . . . . . 10 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
38	5, 20, 23, 37	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
39	1, 2, 5, 23, 25, 31, 38, 33	lattrd 17058	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
40	1, 2, 8	latjle12 17062	. . . . . . . . 9 $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
41	5, 16, 23, 31, 40	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
42	32, 39, 41	mpbi2and 956	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
43	42	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
44	3	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
45	3, 6, 7	3jca 1242	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
47	12, 21	jca 554	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$
48	47	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$
49		simp13l 1176	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
51		simp13r 1177	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
52	51	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
53		simp33 1099	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
54	53	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
55		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
57	1, 9	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58	17, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
59	1, 9	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
60	18, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
61	1, 2, 8	latjle12 17062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
62	5, 58, 60, 16, 61	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
63	62	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
64	55, 56, 63	mpbi2and 956	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
66		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
67	1, 2, 8	latjle12 17062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
68	5, 20, 23, 16, 67	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
69	68	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
70	65, 66, 69	mpbi2and 956	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
71		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
72		simp12 1092	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
73		simp2rr 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
74		simp2rl 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
75	2, 8, 9	3at 34776	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
76	3, 71, 72, 73, 74, 75	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
77	76	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
78	70, 77	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
79	78	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
80	79	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
81	80	necon3ad 2807	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
82	54, 81	mpd 15	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
83	2, 8, 9, 29	lvoli2 34867	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
84	46, 48, 50, 52, 82, 83	syl113anc 1338	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
85	28	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
86	2, 29	lvolcmp 34903	. . . . . . 7 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
87	44, 84, 85, 86	syl3anc 1326	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
88	43, 87	mpbid 222	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
89	1, 2, 8	latjlej2 17066	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
90	5, 23, 25, 16, 89	syl13anc 1328	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
91	38, 90	mpd 15	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
92	91	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
93	88, 92	eqbrtrrd 4677	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
94	1, 8, 9	hlatjcl 34653	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $.\/$
95	3, 17, 21, 94	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
96	1, 2, 8	latlej2 17061	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
97	5, 95, 60, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
98	8, 9	hlatj32 34658	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
99	3, 17, 18, 21, 98	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
100	97, 99	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
101	1, 2, 5, 60, 25, 31, 100, 33	lattrd 17058	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
102	1, 2, 8	latjle12 17062	. . . . . . . . 9 $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
103	5, 16, 60, 31, 102	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
104	32, 101, 103	mpbi2and 956	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
105	104	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
106	3	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
107	45	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
108	12, 18	jca 554	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$
109	108	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$
110	49	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
111	51	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
112		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
113	2, 8, 9, 29	lvoli2 34867	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
114	107, 109, 110, 111, 112, 113	syl113anc 1338	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
115	28	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
116	2, 29	lvolcmp 34903	. . . . . . 7 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
117	106, 114, 115, 116	syl3anc 1326	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
118	105, 117	mpbid 222	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
119	1, 2, 8	latjlej2 17066	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
120	5, 60, 25, 16, 119	syl13anc 1328	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
121	100, 120	mpd 15	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
122	121	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
123	118, 122	eqbrtrrd 4677	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
124	93, 123	pm2.61dan 832	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
125	1, 8, 9	hlatjcl 34653	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $.\/$
126	3, 18, 21, 125	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
127	1, 2, 8	latlej1 17060	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
128	5, 58, 126, 127	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
129	1, 8	latjass 17095	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
130	5, 58, 60, 23, 129	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
131	128, 130	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
132	1, 2, 5, 58, 25, 31, 131, 33	lattrd 17058	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
133	1, 2, 8	latjle12 17062	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
134	5, 16, 58, 31, 133	syl13anc 1328	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
135	32, 132, 134	mpbi2and 956	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
136	135	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
137	3	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
138	45	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
139	12, 17	jca 554	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$
140	139	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$
141	49	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
142	51	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
143		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
144	2, 8, 9, 29	lvoli2 34867	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
145	138, 140, 141, 142, 143, 144	syl113anc 1338	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
146	28	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
147	2, 29	lvolcmp 34903	. . . . . 6 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
148	137, 145, 146, 147	syl3anc 1326	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
149	136, 148	mpbid 222	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
150	1, 2, 8	latjlej2 17066	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
151	5, 58, 25, 16, 150	syl13anc 1328	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
152	131, 151	mpd 15	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
153	152	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
154	149, 153	eqbrtrrd 4677	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
155	124, 154	pm2.61dan 832	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
156	1, 2, 5, 27, 31, 36, 155	latasymd 17057	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cbs 15857

cple 15948

cjn 16944

clat 17045

catm 34550

chlt 34637

clvol 34779

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-preset 16928 df-poset 16946 df-plt 16958 df-lub 16974 df-glb 16975 df-join 16976 df-meet 16977 df-p0 17039 df-lat 17046 df-clat 17108 df-oposet 34463 df-ol 34465 df-oml 34466 df-covers 34553 df-ats 34554 df-atl 34585 df-cvlat 34609 df-hlat 34638 df-llines 34784 df-lplanes 34785 df-lvols 34786

This theorem is referenced by: 2lplnj 34906

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