Theorem mapsnop 42123

Description: A singleton of an ordered pair as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapsnop.f	|- F = { <. X , Y >. }

Assertion

Ref	Expression
mapsnop	|- ( ( X e. V /\ Y e. R /\ R e. W ) -> F e. ( R ^m { X } ) )

Proof of Theorem mapsnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsnop.f	. . . 4 |- F = { <. X , Y >. }
2		fsng 6404	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. R ) -> ( F : { X } --> { Y } <-> F = { <. X , Y >. } ) )
3	2	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. R /\ R e. W ) -> ( F : { X } --> { Y } <-> F = { <. X , Y >. } ) )
4	1, 3	mpbiri 248	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. R /\ R e. W ) -> F : { X } --> { Y } )
5		snssi 4339	. . . 4 |- ( Y e. R -> { Y } C_ R )
6	5	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. R /\ R e. W ) -> { Y } C_ R )
7	4, 6	fssd 6057	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. R /\ R e. W ) -> F : { X } --> R )
8		simp3 1063	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. R /\ R e. W ) -> R e. W )
9		snex 4908	. . 3 |- { X } e. _V
10		elmapg 7870	. . 3 |- ( ( R e. W /\ { X } e. _V ) -> ( F e. ( R ^m { X } ) <-> F : { X } --> R ) )
11	8, 9, 10	sylancl 694	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. R /\ R e. W ) -> ( F e. ( R ^m { X } ) <-> F : { X } --> R ) )
12	7, 11	mpbird 247	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. R /\ R e. W ) -> F e. ( R ^m { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   -->wf 5884  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859

This theorem is referenced by:  lincvalsng  42205  lcosn0  42209