Theorem lincvalsng 42205

Description: The linear combination over a singleton. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsn.b	|- B = ( Base ` M )
lincvalsn.s	|- S = (Scalar ` M )
lincvalsn.r	|- R = ( Base ` S )
lincvalsn.t	|- .x. = ( .s ` M )

Assertion

Ref	Expression
lincvalsng	|- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( { <. V , Y >. } ( linC ` M ) { V } ) = ( Y .x. V ) )

Proof of Theorem lincvalsng

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> M e. LMod )
2		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> V e. B )
3		lincvalsn.r	. . . . . . . 8 |- R = ( Base ` S )
4		lincvalsn.s	. . . . . . . . 9 |- S = (Scalar ` M )
5	4	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( Base ` S ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
6	3, 5	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
7	6	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( Y e. R <-> Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8	7	biimpi 206	. . . . 5 |- ( Y e. R -> Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
9	8	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
10		fvexd 6203	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V )
11		eqid 2622	. . . . 5 |- { <. V , Y >. } = { <. V , Y >. }
12	11	mapsnop 42123	. . . 4 |- ( ( V e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) -> { <. V , Y >. } e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V } ) )
13	2, 9, 10, 12	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> { <. V , Y >. } e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V } ) )
14		snelpwi 4912	. . . . 5 |- ( V e. ( Base ` M ) -> { V } e. ~P ( Base ` M ) )
15		lincvalsn.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
16	14, 15	eleq2s 2719	. . . 4 |- ( V e. B -> { V } e. ~P ( Base ` M ) )
17	16	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> { V } e. ~P ( Base ` M ) )
18		lincval 42198	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ { <. V , Y >. } e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V } ) /\ { V } e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( { <. V , Y >. } ( linC ` M ) { V } ) = ( M gsumg ( v e. { V } |-> ( ( { <. V , Y >. } ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
19	1, 13, 17, 18	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( { <. V , Y >. } ( linC ` M ) { V } ) = ( M gsumg ( v e. { V } |-> ( ( { <. V , Y >. } ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
20		lmodgrp 18870	. . . . 5 |- ( M e. LMod -> M e. Grp )
21		grpmnd 17429	. . . . 5 |- ( M e. Grp -> M e. Mnd )
22	20, 21	syl 17	. . . 4 |- ( M e. LMod -> M e. Mnd )
23	22	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> M e. Mnd )
24		fvsng 6447	. . . . . 6 |- ( ( V e. B /\ Y e. R ) -> ( { <. V , Y >. } ` V ) = Y )
25	24	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( { <. V , Y >. } ` V ) = Y )
26	25	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( ( { <. V , Y >. } ` V ) ( .s ` M ) V ) = ( Y ( .s ` M ) V ) )
27		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
28	15, 4, 27, 3	lmodvscl 18880	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ Y e. R /\ V e. B ) -> ( Y ( .s ` M ) V ) e. B )
29	28	3com23 1271	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( Y ( .s ` M ) V ) e. B )
30	26, 29	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( ( { <. V , Y >. } ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B )
31		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( v = V -> ( { <. V , Y >. } ` v ) = ( { <. V , Y >. } ` V ) )
32		id 22	. . . . 5 |- ( v = V -> v = V )
33	31, 32	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( v = V -> ( ( { <. V , Y >. } ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( { <. V , Y >. } ` V ) ( .s ` M ) V ) )
34	15, 33	gsumsn 18354	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ V e. B /\ ( ( { <. V , Y >. } ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B ) -> ( M gsumg ( v e. { V } |-> ( ( { <. V , Y >. } ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( ( { <. V , Y >. } ` V ) ( .s ` M ) V ) )
35	23, 2, 30, 34	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( M gsumg ( v e. { V } |-> ( ( { <. V , Y >. } ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( ( { <. V , Y >. } ` V ) ( .s ` M ) V ) )
36		lincvalsn.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` M )
37	36	eqcomi 2631	. . . 4 |- ( .s ` M ) = .x.
38	37	a1i 11	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( .s ` M ) = .x. )
39		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> V = V )
40	38, 25, 39	oveq123d 6671	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( ( { <. V , Y >. } ` V ) ( .s ` M ) V ) = ( Y .x. V ) )
41	19, 35, 40	3eqtrd 2660	1 |- ( ( M e. LMod /\ V e. B /\ Y e. R ) -> ( { <. V , Y >. } ( linC ` M ) { V } ) = ( Y .x. V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   LModclmod 18863   linC clinc 42193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-lmod 18865  df-linc 42195

This theorem is referenced by:  lincvalsn  42206  snlindsntorlem  42259  ldepsnlinclem1  42294  ldepsnlinclem2  42295