Theorem mndpluscn 29972

Description: A mapping that is both a homeomorphism and a monoid homomorphism preserves the "continuousness" of the operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndpluscn.f	|- F e. ( J Homeo K )
mndpluscn.p	|- .+ : ( B X. B ) --> B
mndpluscn.t	|- .* : ( C X. C ) --> C
mndpluscn.j	|- J e. (TopOn ` B )
mndpluscn.k	|- K e. (TopOn ` C )
mndpluscn.h	|- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) )
mndpluscn.o	|- .+ e. ( ( J tX J ) Cn J )

Assertion

Ref	Expression
mndpluscn	|- .* e. ( ( K tX K ) Cn K )

Distinct variable groups:   y, .* , x   y, .+   y, F   x, .+   x, B, y   x, F

Allowed substitution hints:   C( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem mndpluscn

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndpluscn.t	. . . 4 |- .* : ( C X. C ) --> C
2		ffn 6045	. . . 4 |- ( .* : ( C X. C ) --> C -> .* Fn ( C X. C ) )
3		fnov 6768	. . . . 5 |- ( .* Fn ( C X. C ) <-> .* = ( a e. C , b e. C |-> ( a .* b ) ) )
4	3	biimpi 206	. . . 4 |- ( .* Fn ( C X. C ) -> .* = ( a e. C , b e. C |-> ( a .* b ) ) )
5	1, 2, 4	mp2b 10	. . 3 |- .* = ( a e. C , b e. C |-> ( a .* b ) )
6		mndpluscn.f	. . . . . . . . 9 |- F e. ( J Homeo K )
7		mndpluscn.j	. . . . . . . . . . 11 |- J e. (TopOn ` B )
8	7	toponunii 20721	. . . . . . . . . 10 |- B = U. J
9		mndpluscn.k	. . . . . . . . . . 11 |- K e. (TopOn ` C )
10	9	toponunii 20721	. . . . . . . . . 10 |- C = U. K
11	8, 10	hmeof1o 21567	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : B -1-1-onto-> C )
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- F : B -1-1-onto-> C
13		f1ocnvdm 6540	. . . . . . . 8 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ a e. C ) -> ( `' F ` a ) e. B )
14	12, 13	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( a e. C -> ( `' F ` a ) e. B )
15		f1ocnvdm 6540	. . . . . . . 8 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ b e. C ) -> ( `' F ` b ) e. B )
16	12, 15	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( b e. C -> ( `' F ` b ) e. B )
17	14, 16	anim12i 590	. . . . . 6 |- ( ( a e. C /\ b e. C ) -> ( ( `' F ` a ) e. B /\ ( `' F ` b ) e. B ) )
18		mndpluscn.h	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) )
19	18	rgen2a 2977	. . . . . 6 |- A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) )
20		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F ` a ) -> ( x .+ y ) = ( ( `' F ` a ) .+ y ) )
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F ` a ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( F ` ( ( `' F ` a ) .+ y ) ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F ` a ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( `' F ` a ) ) )
23	22	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F ` a ) -> ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( `' F ` a ) ) .* ( F ` y ) ) )
24	21, 23	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( x = ( `' F ` a ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( ( `' F ` a ) .+ y ) ) = ( ( F ` ( `' F ` a ) ) .* ( F ` y ) ) ) )
25		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( `' F ` b ) -> ( ( `' F ` a ) .+ y ) = ( ( `' F ` a ) .+ ( `' F ` b ) ) )
26	25	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y = ( `' F ` b ) -> ( F ` ( ( `' F ` a ) .+ y ) ) = ( F ` ( ( `' F ` a ) .+ ( `' F ` b ) ) ) )
27		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( `' F ` b ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( `' F ` b ) ) )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( y = ( `' F ` b ) -> ( ( F ` ( `' F ` a ) ) .* ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( `' F ` a ) ) .* ( F ` ( `' F ` b ) ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( y = ( `' F ` b ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` a ) .+ y ) ) = ( ( F ` ( `' F ` a ) ) .* ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( ( `' F ` a ) .+ ( `' F ` b ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` a ) ) .* ( F ` ( `' F ` b ) ) ) ) )
30	24, 29	rspc2va 3323	. . . . . 6 |- ( ( ( ( `' F ` a ) e. B /\ ( `' F ` b ) e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` a ) .+ ( `' F ` b ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` a ) ) .* ( F ` ( `' F ` b ) ) ) )
31	17, 19, 30	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( a e. C /\ b e. C ) -> ( F ` ( ( `' F ` a ) .+ ( `' F ` b ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` a ) ) .* ( F ` ( `' F ` b ) ) ) )
32		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . 7 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ a e. C ) -> ( F ` ( `' F ` a ) ) = a )
33	12, 32	mpan 706	. . . . . 6 |- ( a e. C -> ( F ` ( `' F ` a ) ) = a )
34		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . 7 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ b e. C ) -> ( F ` ( `' F ` b ) ) = b )
35	12, 34	mpan 706	. . . . . 6 |- ( b e. C -> ( F ` ( `' F ` b ) ) = b )
36	33, 35	oveqan12d 6669	. . . . 5 |- ( ( a e. C /\ b e. C ) -> ( ( F ` ( `' F ` a ) ) .* ( F ` ( `' F ` b ) ) ) = ( a .* b ) )
37	31, 36	eqtr2d 2657	. . . 4 |- ( ( a e. C /\ b e. C ) -> ( a .* b ) = ( F ` ( ( `' F ` a ) .+ ( `' F ` b ) ) ) )
38	37	mpt2eq3ia 6720	. . 3 |- ( a e. C , b e. C |-> ( a .* b ) ) = ( a e. C , b e. C |-> ( F ` ( ( `' F ` a ) .+ ( `' F ` b ) ) ) )
39	5, 38	eqtri 2644	. 2 |- .* = ( a e. C , b e. C |-> ( F ` ( ( `' F ` a ) .+ ( `' F ` b ) ) ) )
40	9	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> K e. (TopOn ` C ) )
41	40, 40	cnmpt1st 21471	. . . . . 6 |- ( T. -> ( a e. C , b e. C |-> a ) e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
42		hmeocnvcn 21564	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> `' F e. ( K Cn J ) )
43	6, 42	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( T. -> `' F e. ( K Cn J ) )
44	40, 40, 41, 43	cnmpt21f 21475	. . . . 5 |- ( T. -> ( a e. C , b e. C |-> ( `' F ` a ) ) e. ( ( K tX K ) Cn J ) )
45	40, 40	cnmpt2nd 21472	. . . . . 6 |- ( T. -> ( a e. C , b e. C |-> b ) e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
46	40, 40, 45, 43	cnmpt21f 21475	. . . . 5 |- ( T. -> ( a e. C , b e. C |-> ( `' F ` b ) ) e. ( ( K tX K ) Cn J ) )
47		mndpluscn.o	. . . . . 6 |- .+ e. ( ( J tX J ) Cn J )
48	47	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> .+ e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
49	40, 40, 44, 46, 48	cnmpt22f 21478	. . . 4 |- ( T. -> ( a e. C , b e. C |-> ( ( `' F ` a ) .+ ( `' F ` b ) ) ) e. ( ( K tX K ) Cn J ) )
50		hmeocn 21563	. . . . 5 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
51	6, 50	mp1i 13	. . . 4 |- ( T. -> F e. ( J Cn K ) )
52	40, 40, 49, 51	cnmpt21f 21475	. . 3 |- ( T. -> ( a e. C , b e. C |-> ( F ` ( ( `' F ` a ) .+ ( `' F ` b ) ) ) ) e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
53	52	trud 1493	. 2 |- ( a e. C , b e. C |-> ( F ` ( ( `' F ` a ) .+ ( `' F ` b ) ) ) ) e. ( ( K tX K ) Cn K )
54	39, 53	eqeltri 2697	1 |- .* e. ( ( K tX K ) Cn K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   A.wral 2912   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   Homeochmeo 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-tx 21365  df-hmeo 21558

This theorem is referenced by:  mhmhmeotmd  29973  xrge0pluscn  29986