Theorem mpstrcl 31438

Description: The elements of a pre-statement are sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpstssv.p	|- P = (mPreSt ` T )

Assertion

Ref	Expression
mpstrcl	|- ( <. D , H , A >. e. P -> ( D e. _V /\ H e. _V /\ A e. _V ) )

Proof of Theorem mpstrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ot 4186	. . 3 |- <. D , H , A >. = <. <. D , H >. , A >.
2		mpstssv.p	. . . . 5 |- P = (mPreSt ` T )
3	2	mpstssv 31436	. . . 4 |- P C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )
4	3	sseli 3599	. . 3 |- ( <. D , H , A >. e. P -> <. D , H , A >. e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
5	1, 4	syl5eqelr 2706	. 2 |- ( <. D , H , A >. e. P -> <. <. D , H >. , A >. e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
6		opelxp 5146	. . . 4 |- ( <. D , H >. e. ( _V X. _V ) <-> ( D e. _V /\ H e. _V ) )
7	6	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( <. D , H >. e. ( _V X. _V ) /\ A e. _V ) <-> ( ( D e. _V /\ H e. _V ) /\ A e. _V ) )
8		opelxp 5146	. . 3 |- ( <. <. D , H >. , A >. e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> ( <. D , H >. e. ( _V X. _V ) /\ A e. _V ) )
9		df-3an 1039	. . 3 |- ( ( D e. _V /\ H e. _V /\ A e. _V ) <-> ( ( D e. _V /\ H e. _V ) /\ A e. _V ) )
10	7, 8, 9	3bitr4i 292	. 2 |- ( <. <. D , H >. , A >. e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> ( D e. _V /\ H e. _V /\ A e. _V ) )
11	5, 10	sylib 208	1 |- ( <. D , H , A >. e. P -> ( D e. _V /\ H e. _V /\ A e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   <.cotp 4185   X. cxp 5112   ` cfv 5888  mPreStcmpst 31370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-mpst 31390

This theorem is referenced by:  elmsta  31445  mclsax  31466