Theorem mpt2exg 7245

Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpt2exg.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
mpt2exg	|- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> F e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B, x

Allowed substitution hints:   C( x, y)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem mpt2exg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. . 3 |- ( B e. S -> B e. _V )
2		elex 3212	. . . 4 |- ( B e. _V -> B e. _V )
3	2	ralrimivw 2967	. . 3 |- ( B e. _V -> A. x e. A B e. _V )
4	1, 3	syl 17	. 2 |- ( B e. S -> A. x e. A B e. _V )
5		mpt2exg.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
6	5	mpt2exxg 7244	. 2 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. _V ) -> F e. _V )
7	4, 6	sylan2 491	1 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169

This theorem is referenced by:  mpt2exga  7246  isofn  16435  rmodislmod  18931  eulerpartgbij  30434  hspval  40823  dfrngc2  41972  dfringc2  42018  digfval  42391