Theorem eulerpartgbij 30434

Description: Lemma for eulerpart 30444: The G function is a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	|- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
eulerpart.o	|- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
eulerpart.d	|- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
eulerpart.j	|- J = { z e. NN | -. 2 || z }
eulerpart.f	|- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
eulerpart.h	|- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
eulerpart.m	|- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
eulerpart.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpart.t	|- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
eulerpart.g	|- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartgbij	|- G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )

Distinct variable groups:   f, g, k, n, o, x, y, z   o, F   f, r, J, o, x, y   o, M, r   f, N, g, x   P, g   R, f, o   o, H, r   T, f, o

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   P( x, y, z, f, k, n, o, r)   R( x, y, z, g, k, n, r)   T( x, y, z, g, k, n, r)   F( x, y, z, f, g, k, n, r)   G( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   H( x, y, z, f, g, k, n)   J( z, g, k, n)   M( x, y, z, f, g, k, n)   N( y, z, k, n, o, r)   O( x, y, z, f, g, k, n, o, r)

Proof of Theorem eulerpartgbij

Dummy variables a m b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
2		indf1ofs 30088	. . . . 5 |- ( NN e. _V -> ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) : ( ~P NN i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) : ( ~P NN i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin }
4		incom 3805	. . . . . . 7 |- ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i { f | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = ( { f | ( `' f " NN ) e. Fin } i^i ( { 0 , 1 } ^m NN ) )
5		eulerpart.r	. . . . . . . 8 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
6	5	ineq2i 3811	. . . . . . 7 |- ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) = ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i { f | ( `' f " NN ) e. Fin } )
7		dfrab2 3903	. . . . . . 7 |- { f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( { f | ( `' f " NN ) e. Fin } i^i ( { 0 , 1 } ^m NN ) )
8	4, 6, 7	3eqtr4i 2654	. . . . . 6 |- ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) = { f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
9		elmapfun 7881	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> Fun f )
10		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> f : NN --> { 0 , 1 } )
11		frn 6053	. . . . . . . . . 10 |- ( f : NN --> { 0 , 1 } -> ran f C_ { 0 , 1 } )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> ran f C_ { 0 , 1 } )
13		fimacnvinrn2 6349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun f /\ ran f C_ { 0 , 1 } ) -> ( `' f " NN ) = ( `' f " ( NN i^i { 0 , 1 } ) ) )
14		df-pr 4180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
15	14	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN i^i { 0 , 1 } ) = ( NN i^i ( { 0 } u. { 1 } ) )
16		indi 3873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN i^i ( { 0 } u. { 1 } ) ) = ( ( NN i^i { 0 } ) u. ( NN i^i { 1 } ) )
17		0nnn 11052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 0 e. NN
18		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( NN i^i { 0 } ) = (/) <-> -. 0 e. NN )
19	17, 18	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( NN i^i { 0 } ) = (/)
20		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. NN
21		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. _V
22	21	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 e. NN <-> { 1 } C_ NN )
23	20, 22	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { 1 } C_ NN
24		dfss 3589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { 1 } C_ NN <-> { 1 } = ( { 1 } i^i NN ) )
25	23, 24	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { 1 } = ( { 1 } i^i NN )
26		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { 1 } i^i NN ) = ( NN i^i { 1 } )
27	25, 26	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( NN i^i { 1 } ) = { 1 }
28	19, 27	uneq12i 3765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( NN i^i { 0 } ) u. ( NN i^i { 1 } ) ) = ( (/) u. { 1 } )
29	15, 16, 28	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN i^i { 0 , 1 } ) = ( (/) u. { 1 } )
30		uncom 3757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) u. { 1 } ) = ( { 1 } u. (/) )
31		un0 3967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { 1 } u. (/) ) = { 1 }
32	29, 30, 31	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN i^i { 0 , 1 } ) = { 1 }
33	32	imaeq2i 5464	. . . . . . . . . 10 |- ( `' f " ( NN i^i { 0 , 1 } ) ) = ( `' f " { 1 } )
34	13, 33	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun f /\ ran f C_ { 0 , 1 } ) -> ( `' f " NN ) = ( `' f " { 1 } ) )
35	9, 12, 34	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> ( `' f " NN ) = ( `' f " { 1 } ) )
36	35	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' f " { 1 } ) e. Fin ) )
37	36	rabbiia 3185	. . . . . 6 |- { f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin }
38	8, 37	eqtr2i 2645	. . . . 5 |- { f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } = ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
39		f1oeq3 6129	. . . . 5 |- ( { f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } = ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) -> ( ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) : ( ~P NN i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } <-> ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) : ( ~P NN i^i Fin ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) ) )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) : ( ~P NN i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } <-> ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) : ( ~P NN i^i Fin ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
41	3, 40	mpbi 220	. . 3 |- ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) : ( ~P NN i^i Fin ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
42		eulerpart.j	. . . . . . 7 |- J = { z e. NN | -. 2 || z }
43		eulerpart.f	. . . . . . 7 |- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
44	42, 43	oddpwdc 30416	. . . . . 6 |- F : ( J X. NN0 ) -1-1-onto-> NN
45		f1opwfi 8270	. . . . . 6 |- ( F : ( J X. NN0 ) -1-1-onto-> NN -> ( a e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) |-> ( F " a ) ) : ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) -1-1-onto-> ( ~P NN i^i Fin ) )
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( a e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) |-> ( F " a ) ) : ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) -1-1-onto-> ( ~P NN i^i Fin )
47		eulerpart.p	. . . . . . . 8 |- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
48		eulerpart.o	. . . . . . . 8 |- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
49		eulerpart.d	. . . . . . . 8 |- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
50		eulerpart.h	. . . . . . . 8 |- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
51		eulerpart.m	. . . . . . . 8 |- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
52	47, 48, 49, 42, 43, 50, 51	eulerpartlem1 30429	. . . . . . 7 |- M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin )
53		bitsf1o 15167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin ) )
55	42, 1	rabex2 4815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- J e. _V
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> J e. _V )
57		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 e. _V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> NN0 e. _V )
59	57	pwex 4848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ~P NN0 e. _V
60	59	inex1 4799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ~P NN0 i^i Fin ) e. _V
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( ~P NN0 i^i Fin ) e. _V )
62		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> 0 e. NN0 )
64		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 e. NN0 -> ( (bits |` NN0 ) ` 0 ) = (bits ` 0 ) )
65	62, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (bits |` NN0 ) ` 0 ) = (bits ` 0 )
66		0bits 15161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (bits ` 0 ) = (/)
67	65, 66	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) = ( (bits |` NN0 ) ` 0 )
68		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. ( NN0 ^m J ) -> f : J --> NN0 )
69		frnnn0supp 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. _V /\ f : J --> NN0 ) -> ( f supp 0 ) = ( `' f " NN ) )
70	55, 68, 69	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( NN0 ^m J ) -> ( f supp 0 ) = ( `' f " NN ) )
71	70	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( NN0 ^m J ) -> ( ( f supp 0 ) e. Fin <-> ( `' f " NN ) e. Fin ) )
72	71	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { f e. ( NN0 ^m J ) | ( f supp 0 ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m J ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
73		elmapfun 7881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( NN0 ^m J ) -> Fun f )
74		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- f e. _V
75		funisfsupp 8280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun f /\ f e. _V /\ 0 e. NN0 ) -> ( f finSupp 0 <-> ( f supp 0 ) e. Fin ) )
76	74, 62, 75	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun f -> ( f finSupp 0 <-> ( f supp 0 ) e. Fin ) )
77	73, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( NN0 ^m J ) -> ( f finSupp 0 <-> ( f supp 0 ) e. Fin ) )
78	77	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { f e. ( NN0 ^m J ) | f finSupp 0 } = { f e. ( NN0 ^m J ) | ( f supp 0 ) e. Fin }
79		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { f | ( `' f " NN ) e. Fin } i^i ( NN0 ^m J ) ) = ( ( NN0 ^m J ) i^i { f | ( `' f " NN ) e. Fin } )
80		dfrab2 3903	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { f e. ( NN0 ^m J ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( { f | ( `' f " NN ) e. Fin } i^i ( NN0 ^m J ) )
81	5	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) = ( ( NN0 ^m J ) i^i { f | ( `' f " NN ) e. Fin } )
82	79, 80, 81	3eqtr4ri 2655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) = { f e. ( NN0 ^m J ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
83	72, 78, 82	3eqtr4ri 2655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) = { f e. ( NN0 ^m J ) | f finSupp 0 }
84		elmapfun 7881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) -> Fun r )
85		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- r e. _V
86		0ex 4790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (/) e. _V
87		funisfsupp 8280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun r /\ r e. _V /\ (/) e. _V ) -> ( r finSupp (/) <-> ( r supp (/) ) e. Fin ) )
88	85, 86, 87	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun r -> ( r finSupp (/) <-> ( r supp (/) ) e. Fin ) )
89	88	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun r -> ( ( r supp (/) ) e. Fin <-> r finSupp (/) ) )
90	84, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) -> ( ( r supp (/) ) e. Fin <-> r finSupp (/) ) )
91	90	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . . . 13 |- { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin } = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | r finSupp (/) }
92	54, 56, 58, 61, 63, 67, 83, 91	fcobijfs 29501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> ( (bits |` NN0 ) o. f ) ) : ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) -1-1-onto-> { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin } )
93		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) -> f e. ( NN0 ^m J ) )
94		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : J --> NN0 -> ran f C_ NN0 )
95		cores 5638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ran f C_ NN0 -> ( (bits |` NN0 ) o. f ) = (bits o. f ) )
96	68, 94, 95	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( NN0 ^m J ) -> ( (bits |` NN0 ) o. f ) = (bits o. f ) )
97	93, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) -> ( (bits |` NN0 ) o. f ) = (bits o. f ) )
98	97	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> ( (bits |` NN0 ) o. f ) ) = ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) )
99	98	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) ) = ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> ( (bits |` NN0 ) o. f ) )
100		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) ) = ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> ( (bits |` NN0 ) o. f ) ) -> ( ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) ) : ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) -1-1-onto-> { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin } <-> ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> ( (bits |` NN0 ) o. f ) ) : ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) -1-1-onto-> { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin } ) )
101	99, 100	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) ) : ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) -1-1-onto-> { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin } <-> ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> ( (bits |` NN0 ) o. f ) ) : ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) -1-1-onto-> { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin } ) )
102	92, 101	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) ) : ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) -1-1-onto-> { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin } )
103	102	trud 1493	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) ) : ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) -1-1-onto-> { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
104		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { z e. NN | -. 2 || z } C_ NN
105	42, 104	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- J C_ NN
106	1, 57, 105	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( NN e. _V /\ NN0 e. _V /\ J C_ NN )
107		eulerpart.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
108		cnveq 5296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = o -> `' f = `' o )
109		dfn2 11305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = o -> NN = ( NN0 \ { 0 } ) )
111	108, 110	imaeq12d 5467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = o -> ( `' f " NN ) = ( `' o " ( NN0 \ { 0 } ) ) )
112	111	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = o -> ( ( `' f " NN ) C_ J <-> ( `' o " ( NN0 \ { 0 } ) ) C_ J ) )
113	112	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J } = { o e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' o " ( NN0 \ { 0 } ) ) C_ J }
114	107, 113	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { o e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' o " ( NN0 \ { 0 } ) ) C_ J }
115		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o e. T |-> ( o |` J ) ) = ( o e. T |-> ( o |` J ) )
116	114, 115	resf1o 29505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( NN e. _V /\ NN0 e. _V /\ J C_ NN ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( o e. T |-> ( o |` J ) ) : T -1-1-onto-> ( NN0 ^m J ) )
117	106, 62, 116	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( o e. T |-> ( o |` J ) ) : T -1-1-onto-> ( NN0 ^m J )
118		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) : T -1-1-onto-> ( NN0 ^m J ) -> ( o e. T |-> ( o |` J ) ) : T -1-1-> ( NN0 ^m J ) )
119	117, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o e. T |-> ( o |` J ) ) : T -1-1-> ( NN0 ^m J )
120		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T i^i R ) C_ T
121		f1ores 6151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) : T -1-1-> ( NN0 ^m J ) /\ ( T i^i R ) C_ T ) -> ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) |` ( T i^i R ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) " ( T i^i R ) ) )
122	119, 120, 121	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) |` ( T i^i R ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) " ( T i^i R ) )
123		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- o e. _V
124	123	resex 5443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( o |` J ) e. _V
125	124, 115	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( o e. T |-> ( o |` J ) ) Fn T
126		fvelimab 6253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) Fn T /\ ( T i^i R ) C_ T ) -> ( f e. ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) " ( T i^i R ) ) <-> E. m e. ( T i^i R ) ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) ` m ) = f ) )
127	125, 120, 126	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) " ( T i^i R ) ) <-> E. m e. ( T i^i R ) ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) ` m ) = f )
128		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) ) = ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) )
129		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- m e. _V
130	129	resex 5443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m |` J ) e. _V
131	128, 130	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ran ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) ) <-> E. m e. ( T i^i R ) f = ( m |` J ) )
132	47, 48, 49, 42, 43, 50, 51, 5, 107	eulerpartlemt 30433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) = ran ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) )
133	132	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) <-> f e. ran ( m e. ( T i^i R ) |-> ( m |` J ) ) )
134		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( T i^i R ) -> m e. T )
135	115	fvtresfn 6284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. T -> ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) ` m ) = ( m |` J ) )
136	135	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. T -> ( ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) ` m ) = f <-> ( m |` J ) = f ) )
137	134, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( T i^i R ) -> ( ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) ` m ) = f <-> ( m |` J ) = f ) )
138		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m |` J ) = f <-> f = ( m |` J ) )
139	137, 138	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( T i^i R ) -> ( ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) ` m ) = f <-> f = ( m |` J ) ) )
140	139	rexbiia 3040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. m e. ( T i^i R ) ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) ` m ) = f <-> E. m e. ( T i^i R ) f = ( m |` J ) )
141	131, 133, 140	3bitr4ri 293	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. m e. ( T i^i R ) ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) ` m ) = f <-> f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) )
142	127, 141	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) " ( T i^i R ) ) <-> f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) )
143	142	eqriv 2619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) " ( T i^i R ) ) = ( ( NN0 ^m J ) i^i R )
144		f1oeq3 6129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) " ( T i^i R ) ) = ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) -> ( ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) |` ( T i^i R ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) " ( T i^i R ) ) <-> ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) |` ( T i^i R ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) ) )
145	143, 144	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) |` ( T i^i R ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) " ( T i^i R ) ) <-> ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) |` ( T i^i R ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) )
146		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T i^i R ) C_ T -> ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) |` ( T i^i R ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) )
147		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) |` ( T i^i R ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) -> ( ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) |` ( T i^i R ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) <-> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) ) )
148	120, 146, 147	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) |` ( T i^i R ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) <-> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) )
149	145, 148	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) |` ( T i^i R ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( o e. T |-> ( o |` J ) ) " ( T i^i R ) ) <-> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) )
150	122, 149	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( NN0 ^m J ) i^i R )
151		f1oco 6159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) ) : ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) -1-1-onto-> { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin } /\ ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) ) -> ( ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin } )
152	103, 150, 151	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
153		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) -> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) : ( T i^i R ) --> ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) )
154		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) )
155	154	fmpt 6381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. o e. ( T i^i R ) ( o |` J ) e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) <-> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) : ( T i^i R ) --> ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) )
156	155	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) : ( T i^i R ) --> ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) -> A. o e. ( T i^i R ) ( o |` J ) e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) )
157	150, 153, 156	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. o e. ( T i^i R ) ( o |` J ) e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R )
158	157	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> A. o e. ( T i^i R ) ( o |` J ) e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) )
159		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) )
160		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) ) = ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) ) )
161		coeq2 5280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( o |` J ) -> (bits o. f ) = (bits o. ( o |` J ) ) )
162	158, 159, 160, 161	fmptcof 6397	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) )
163	162	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) = ( ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) ) )
164		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( T i^i R ) = ( T i^i R ) )
165	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin } )
166	163, 164, 165	f1oeq123d 6133	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> H <-> ( ( f e. ( ( NN0 ^m J ) i^i R ) |-> (bits o. f ) ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( o |` J ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin } ) )
167	152, 166	mpbiri 248	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> H )
168	167	trud 1493	. . . . . . 7 |- ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> H
169		f1oco 6159	. . . . . . 7 |- ( ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) /\ ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> H ) -> ( M o. ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) )
170	52, 168, 169	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( M o. ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin )
171		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) )
172		bitsf 15149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- bits : ZZ --> ~P NN0
173		zex 11386	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ e. _V
174		fex 6490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (bits : ZZ --> ~P NN0 /\ ZZ e. _V ) -> bits e. _V )
175	172, 173, 174	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- bits e. _V
176	175, 124	coex 7118	. . . . . . . . . . . 12 |- (bits o. ( o |` J ) ) e. _V
177	176	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) ) -> (bits o. ( o |` J ) ) e. _V )
178	171, 177	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) ) -> ( ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) ` o ) = (bits o. ( o |` J ) ) )
179		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> H -> ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) : ( T i^i R ) --> H )
180	167, 179	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) : ( T i^i R ) --> H )
181	180	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) ) -> ( ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) ` o ) e. H )
182	178, 181	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) ) -> (bits o. ( o |` J ) ) e. H )
183		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M : H -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) -> M Fn H )
184	52, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- M Fn H
185		dffn5 6241	. . . . . . . . . . 11 |- ( M Fn H <-> M = ( r e. H |-> ( M ` r ) ) )
186	184, 185	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- M = ( r e. H |-> ( M ` r ) )
187	186	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> M = ( r e. H |-> ( M ` r ) ) )
188		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( r = (bits o. ( o |` J ) ) -> ( M ` r ) = ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) )
189	182, 171, 187, 188	fmptco 6396	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( M o. ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) )
190	189	trud 1493	. . . . . . 7 |- ( M o. ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) )
191		f1oeq1 6127	. . . . . . 7 |- ( ( M o. ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) -> ( ( M o. ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) <-> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) ) )
192	190, 191	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( M o. ( o e. ( T i^i R ) |-> (bits o. ( o |` J ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) <-> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) )
193	170, 192	mpbi 220	. . . . 5 |- ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin )
194		f1oco 6159	. . . . 5 |- ( ( ( a e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) |-> ( F " a ) ) : ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) -1-1-onto-> ( ~P NN i^i Fin ) /\ ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) ) -> ( ( a e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) |-> ( F " a ) ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P NN i^i Fin ) )
195	46, 193, 194	mp2an 708	. . . 4 |- ( ( a e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) |-> ( F " a ) ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P NN i^i Fin )
196		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) ) -> o e. ( T i^i R ) )
197		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) e. _V
198		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) )
199	198	fvmpt2 6291	. . . . . . . . 9 |- ( ( o e. ( T i^i R ) /\ ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) e. _V ) -> ( ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ` o ) = ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) )
200	196, 197, 199	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) ) -> ( ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ` o ) = ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) )
201		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) -> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) : ( T i^i R ) --> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) )
202	193, 201	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) : ( T i^i R ) --> ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) )
203	202	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) ) -> ( ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ` o ) e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) )
204	200, 203	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) ) -> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) )
205		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) )
206		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( a e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) |-> ( F " a ) ) = ( a e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) |-> ( F " a ) ) )
207		imaeq2 5462	. . . . . . 7 |- ( a = ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) -> ( F " a ) = ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) )
208	204, 205, 206, 207	fmptco 6396	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( a e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) |-> ( F " a ) ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
209	208	trud 1493	. . . . 5 |- ( ( a e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) |-> ( F " a ) ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) )
210		f1oeq1 6127	. . . . 5 |- ( ( ( a e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) |-> ( F " a ) ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) -> ( ( ( a e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) |-> ( F " a ) ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P NN i^i Fin ) <-> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P NN i^i Fin ) ) )
211	209, 210	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( ( a e. ( ~P ( J X. NN0 ) i^i Fin ) |-> ( F " a ) ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P NN i^i Fin ) <-> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P NN i^i Fin ) )
212	195, 211	mpbi 220	. . 3 |- ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P NN i^i Fin )
213		f1oco 6159	. . 3 |- ( ( ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) : ( ~P NN i^i Fin ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) /\ ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P NN i^i Fin ) ) -> ( ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
214	41, 212, 213	mp2an 708	. 2 |- ( ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
215		eulerpart.g	. . . 4 |- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
216	43	mpt2exg 7245	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. _V /\ NN0 e. _V ) -> F e. _V )
217	55, 57, 216	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- F e. _V
218		imaexg 7103	. . . . . . . . 9 |- ( F e. _V -> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) e. _V )
219	217, 218	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) e. _V
220		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) )
221	220	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( o e. ( T i^i R ) /\ ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) e. _V ) -> ( ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ` o ) = ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) )
222	196, 219, 221	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) ) -> ( ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ` o ) = ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) )
223		f1of 6137	. . . . . . . . 9 |- ( ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ~P NN i^i Fin ) -> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) --> ( ~P NN i^i Fin ) )
224	212, 223	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) --> ( ~P NN i^i Fin ) )
225	224	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) ) -> ( ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ` o ) e. ( ~P NN i^i Fin ) )
226	222, 225	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ o e. ( T i^i R ) ) -> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) e. ( ~P NN i^i Fin ) )
227		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( T. -> ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
228		indf1o 30086	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN e. _V -> (𝟭 ` NN ) : ~P NN -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m NN ) )
229		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . 11 |- ( (𝟭 ` NN ) : ~P NN -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> (𝟭 ` NN ) Fn ~P NN )
230	1, 228, 229	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- (𝟭 ` NN ) Fn ~P NN
231		dffn5 6241	. . . . . . . . . 10 |- ( (𝟭 ` NN ) Fn ~P NN <-> (𝟭 ` NN ) = ( b e. ~P NN |-> ( (𝟭 ` NN ) ` b ) ) )
232	230, 231	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- (𝟭 ` NN ) = ( b e. ~P NN |-> ( (𝟭 ` NN ) ` b ) )
233	232	reseq1i 5392	. . . . . . . 8 |- ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) = ( ( b e. ~P NN |-> ( (𝟭 ` NN ) ` b ) ) |` Fin )
234		resmpt3 5450	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ~P NN |-> ( (𝟭 ` NN ) ` b ) ) |` Fin ) = ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` b ) )
235	233, 234	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) = ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` b ) )
236	235	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) = ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` b ) ) )
237		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( b = ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) -> ( (𝟭 ` NN ) ` b ) = ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
238	226, 227, 236, 237	fmptco 6396	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) )
239	238	trud 1493	. . . 4 |- ( ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
240	215, 239	eqtr4i 2647	. . 3 |- G = ( ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
241		f1oeq1 6127	. . 3 |- ( G = ( ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) -> ( G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) <-> ( ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) ) )
242	240, 241	ax-mp 5	. 2 |- ( G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) <-> ( ( (𝟭 ` NN ) |` Fin ) o. ( o e. ( T i^i R ) |-> ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) ) : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
243	214, 242	mpbir 221	1 |- G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860   sum_csu 14416   || cdvds 14983  bitscbits 15141  𝟭cind 30072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-bits 15144  df-ind 30073

This theorem is referenced by:  eulerpartlemgf  30441  eulerpartlemgs2  30442  eulerpartlemn  30443