Theorem mpt2exga 7246

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpt2exga	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem mpt2exga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	mpt2exg 7245	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169

This theorem is referenced by:  mptmpt2opabbrd  7248  el2mpt2csbcl  7250  bropopvvv  7255  bropfvvvv  7257  prdsip  16121  imasds  16173  setchomfval  16729  setccofval  16732  estrchomfval  16766  estrccofval  16769  lsmvalx  18054  mamuval  20192  mamudm  20194  marrepfval  20366  marrepval0  20367  marrepval  20368  marepvfval  20371  marepvval  20373  submaval0  20386  submaval  20387  maduval  20444  minmar1val0  20453  minmar1val  20454  mat2pmatval  20529  mat2pmatf  20533  m2cpmf  20547  cpm2mval  20555  decpmatval0  20569  decpmatmul  20577  pmatcollpw2lem  20582  pmatcollpw3lem  20588  mply1topmatval  20609  mp2pm2mplem1  20611  xkoptsub  21457  grpodivfval  27388  pstmval  29938  sxsigon  30255  cndprobval  30495  funcrngcsetc  41998  funcringcsetc  42035  lmod1lem1  42276  lmod1lem2  42277  lmod1lem3  42278  lmod1lem4  42279  lmod1lem5  42280