Theorem mzpcl2 37293

Description: Defining property 2 of a polynomially closed function set P: it contains all projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpcl2	|- ( ( P e. (mzPolyCld ` V ) /\ F e. V ) -> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` F ) ) e. P )

Distinct variable groups:   g, V   P, g   g, F

Proof of Theorem mzpcl2

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. 2 |- ( ( P e. (mzPolyCld ` V ) /\ F e. V ) -> F e. V )
2		simpl 473	. . . 4 |- ( ( P e. (mzPolyCld ` V ) /\ F e. V ) -> P e. (mzPolyCld ` V ) )
3		elfvex 6221	. . . . . 6 |- ( P e. (mzPolyCld ` V ) -> V e. _V )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( P e. (mzPolyCld ` V ) /\ F e. V ) -> V e. _V )
5		elmzpcl 37289	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( P e. (mzPolyCld ` V ) <-> ( P C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. P /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. P ) /\ A. f e. P A. g e. P ( ( f oF + g ) e. P /\ ( f oF x. g ) e. P ) ) ) ) )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ( P e. (mzPolyCld ` V ) /\ F e. V ) -> ( P e. (mzPolyCld ` V ) <-> ( P C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. P /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. P ) /\ A. f e. P A. g e. P ( ( f oF + g ) e. P /\ ( f oF x. g ) e. P ) ) ) ) )
7	2, 6	mpbid 222	. . 3 |- ( ( P e. (mzPolyCld ` V ) /\ F e. V ) -> ( P C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. P /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. P ) /\ A. f e. P A. g e. P ( ( f oF + g ) e. P /\ ( f oF x. g ) e. P ) ) ) )
8		simprlr 803	. . 3 |- ( ( P C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. P /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. P ) /\ A. f e. P A. g e. P ( ( f oF + g ) e. P /\ ( f oF x. g ) e. P ) ) ) -> A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. P )
9	7, 8	syl 17	. 2 |- ( ( P e. (mzPolyCld ` V ) /\ F e. V ) -> A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. P )
10		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( f = F -> ( g ` f ) = ( g ` F ) )
11	10	mpteq2dv 4745	. . . 4 |- ( f = F -> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) = ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` F ) ) )
12	11	eleq1d 2686	. . 3 |- ( f = F -> ( ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. P <-> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` F ) ) e. P ) )
13	12	rspcva 3307	. 2 |- ( ( F e. V /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. P ) -> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` F ) ) e. P )
14	1, 9, 13	syl2anc 693	1 |- ( ( P e. (mzPolyCld ` V ) /\ F e. V ) -> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` F ) ) e. P )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   + caddc 9939   x. cmul 9941   ZZcz 11377  mzPolyCldcmzpcl 37284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-mzpcl 37286

This theorem is referenced by:  mzpincl  37297  mzpproj  37300