Theorem elmzpcl 37289

Description: Double substitution lemma for mzPolyCld. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmzpcl	|- ( V e. _V -> ( P e. (mzPolyCld ` V ) <-> ( P C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. P /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. P ) /\ A. f e. P A. g e. P ( ( f oF + g ) e. P /\ ( f oF x. g ) e. P ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, V, g   i, V   j, V, x   P, f, g   P, i   P, j, x

Proof of Theorem elmzpcl

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mzpclval 37288	. . 3 |- ( V e. _V -> (mzPolyCld ` V ) = { p e. ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p ) /\ A. f e. p A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) ) } )
2	1	eleq2d 2687	. 2 |- ( V e. _V -> ( P e. (mzPolyCld ` V ) <-> P e. { p e. ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p ) /\ A. f e. p A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) ) } ) )
3		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( p = P -> ( ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p <-> ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. P ) )
4	3	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( p = P -> ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p <-> A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. P ) )
5		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( p = P -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p <-> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. P ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( p = P -> ( A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p <-> A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. P ) )
7	4, 6	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( p = P -> ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p ) <-> ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. P /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. P ) ) )
8		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( p = P -> ( ( f oF + g ) e. p <-> ( f oF + g ) e. P ) )
9		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( p = P -> ( ( f oF x. g ) e. p <-> ( f oF x. g ) e. P ) )
10	8, 9	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( p = P -> ( ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) <-> ( ( f oF + g ) e. P /\ ( f oF x. g ) e. P ) ) )
11	10	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6 |- ( p = P -> ( A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) <-> A. g e. P ( ( f oF + g ) e. P /\ ( f oF x. g ) e. P ) ) )
12	11	raleqbi1dv 3146	. . . . 5 |- ( p = P -> ( A. f e. p A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) <-> A. f e. P A. g e. P ( ( f oF + g ) e. P /\ ( f oF x. g ) e. P ) ) )
13	7, 12	anbi12d 747	. . . 4 |- ( p = P -> ( ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p ) /\ A. f e. p A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) ) <-> ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. P /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. P ) /\ A. f e. P A. g e. P ( ( f oF + g ) e. P /\ ( f oF x. g ) e. P ) ) ) )
14	13	elrab 3363	. . 3 |- ( P e. { p e. ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p ) /\ A. f e. p A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) ) } <-> ( P e. ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. P /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. P ) /\ A. f e. P A. g e. P ( ( f oF + g ) e. P /\ ( f oF x. g ) e. P ) ) ) )
15		ovex 6678	. . . . 5 |- ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) e. _V
16	15	elpw2 4828	. . . 4 |- ( P e. ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) <-> P C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) )
17	16	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( P e. ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. P /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. P ) /\ A. f e. P A. g e. P ( ( f oF + g ) e. P /\ ( f oF x. g ) e. P ) ) ) <-> ( P C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. P /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. P ) /\ A. f e. P A. g e. P ( ( f oF + g ) e. P /\ ( f oF x. g ) e. P ) ) ) )
18	14, 17	bitri 264	. 2 |- ( P e. { p e. ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p ) /\ A. f e. p A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) ) } <-> ( P C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. P /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. P ) /\ A. f e. P A. g e. P ( ( f oF + g ) e. P /\ ( f oF x. g ) e. P ) ) ) )
19	2, 18	syl6bb 276	1 |- ( V e. _V -> ( P e. (mzPolyCld ` V ) <-> ( P C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. P /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. P ) /\ A. f e. P A. g e. P ( ( f oF + g ) e. P /\ ( f oF x. g ) e. P ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   + caddc 9939   x. cmul 9941   ZZcz 11377  mzPolyCldcmzpcl 37284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-mzpcl 37286

This theorem is referenced by:  mzpclall  37290  mzpcl1  37292  mzpcl2  37293  mzpcl34  37294  mzpincl  37297  mzpindd  37309