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Theorem mzpincl 37297
Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl |- ( V e. _V -> (mzPoly ` V ) e. (mzPolyCld ` V ) )
Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables f g a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 37295 . 2 |- ( V e. _V -> (mzPoly ` V ) = |^| (mzPolyCld ` V ) )
2 mzpclall 37290 . . . . 5 |- ( V e. _V -> ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) e. (mzPolyCld ` V ) )
3 intss1 4492 . . . . 5 |- ( ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) e. (mzPolyCld ` V ) -> |^| (mzPolyCld ` V ) C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) )
42, 3syl 17 . . . 4 |- ( V e. _V -> |^| (mzPolyCld ` V ) C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) )
5 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( V e. _V /\ f e. ZZ ) /\ a e. (mzPolyCld ` V ) ) -> a e. (mzPolyCld ` V ) )
6 simplr 792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( V e. _V /\ f e. ZZ ) /\ a e. (mzPolyCld ` V ) ) -> f e. ZZ )
7 mzpcl1 37292 . . . . . . . . 9 |- ( ( a e. (mzPolyCld ` V ) /\ f e. ZZ ) -> ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. a )
85, 6, 7syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. _V /\ f e. ZZ ) /\ a e. (mzPolyCld ` V ) ) -> ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. a )
98ralrimiva 2966 . . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ f e. ZZ ) -> A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. a )
10 ovex 6678 . . . . . . . . 9 |- ( ZZ ^m V ) e. _V
11 snex 4908 . . . . . . . . 9 |- { f } e. _V
1210, 11xpex 6962 . . . . . . . 8 |- ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. _V
1312elint2 4482 . . . . . . 7 |- ( ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) <-> A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. a )
149, 13sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ f e. ZZ ) -> ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) )
1514ralrimiva 2966 . . . . 5 |- ( V e. _V -> A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) )
16 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( V e. _V /\ f e. V ) /\ a e. (mzPolyCld ` V ) ) -> a e. (mzPolyCld ` V ) )
17 simplr 792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( V e. _V /\ f e. V ) /\ a e. (mzPolyCld ` V ) ) -> f e. V )
18 mzpcl2 37293 . . . . . . . . 9 |- ( ( a e. (mzPolyCld ` V ) /\ f e. V ) -> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. a )
1916, 17, 18syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. _V /\ f e. V ) /\ a e. (mzPolyCld ` V ) ) -> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. a )
2019ralrimiva 2966 . . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ f e. V ) -> A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. a )
2110mptex 6486 . . . . . . . 8 |- ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. _V
2221elint2 4482 . . . . . . 7 |- ( ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) <-> A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. a )
2320, 22sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ f e. V ) -> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) )
2423ralrimiva 2966 . . . . 5 |- ( V e. _V -> A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) )
2515, 24jca 554 . . . 4 |- ( V e. _V -> ( A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) ) )
26 vex 3203 . . . . . . . . 9 |- f e. _V
2726elint2 4482 . . . . . . . 8 |- ( f e. |^| (mzPolyCld ` V ) <-> A. a e. (mzPolyCld ` V ) f e. a )
28 vex 3203 . . . . . . . . 9 |- g e. _V
2928elint2 4482 . . . . . . . 8 |- ( g e. |^| (mzPolyCld ` V ) <-> A. a e. (mzPolyCld ` V ) g e. a )
30 mzpcl34 37294 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. (mzPolyCld ` V ) /\ f e. a /\ g e. a ) -> ( ( f oF + g ) e. a /\ ( f oF x. g ) e. a ) )
31303expib 1268 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. (mzPolyCld ` V ) -> ( ( f e. a /\ g e. a ) -> ( ( f oF + g ) e. a /\ ( f oF x. g ) e. a ) ) )
3231ralimia 2950 . . . . . . . . 9 |- ( A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( f e. a /\ g e. a ) -> A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( ( f oF + g ) e. a /\ ( f oF x. g ) e. a ) )
33 r19.26 3064 . . . . . . . . 9 |- ( A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( f e. a /\ g e. a ) <-> ( A. a e. (mzPolyCld ` V ) f e. a /\ A. a e. (mzPolyCld ` V ) g e. a ) )
34 r19.26 3064 . . . . . . . . 9 |- ( A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( ( f oF + g ) e. a /\ ( f oF x. g ) e. a ) <-> ( A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( f oF + g ) e. a /\ A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( f oF x. g ) e. a ) )
3532, 33, 343imtr3i 280 . . . . . . . 8 |- ( ( A. a e. (mzPolyCld ` V ) f e. a /\ A. a e. (mzPolyCld ` V ) g e. a ) -> ( A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( f oF + g ) e. a /\ A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( f oF x. g ) e. a ) )
3627, 29, 35syl2anb 496 . . . . . . 7 |- ( ( f e. |^| (mzPolyCld ` V ) /\ g e. |^| (mzPolyCld ` V ) ) -> ( A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( f oF + g ) e. a /\ A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( f oF x. g ) e. a ) )
37 ovex 6678 . . . . . . . . 9 |- ( f oF + g ) e. _V
3837elint2 4482 . . . . . . . 8 |- ( ( f oF + g ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) <-> A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( f oF + g ) e. a )
39 ovex 6678 . . . . . . . . 9 |- ( f oF x. g ) e. _V
4039elint2 4482 . . . . . . . 8 |- ( ( f oF x. g ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) <-> A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( f oF x. g ) e. a )
4138, 40anbi12i 733 . . . . . . 7 |- ( ( ( f oF + g ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) /\ ( f oF x. g ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) ) <-> ( A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( f oF + g ) e. a /\ A. a e. (mzPolyCld ` V ) ( f oF x. g ) e. a ) )
4236, 41sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( f e. |^| (mzPolyCld ` V ) /\ g e. |^| (mzPolyCld ` V ) ) -> ( ( f oF + g ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) /\ ( f oF x. g ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) ) )
4342a1i 11 . . . . 5 |- ( V e. _V -> ( ( f e. |^| (mzPolyCld ` V ) /\ g e. |^| (mzPolyCld ` V ) ) -> ( ( f oF + g ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) /\ ( f oF x. g ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) ) ) )
4443ralrimivv 2970 . . . 4 |- ( V e. _V -> A. f e. |^| (mzPolyCld ` V ) A. g e. |^| (mzPolyCld ` V ) ( ( f oF + g ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) /\ ( f oF x. g ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) ) )
454, 25, 44jca32 558 . . 3 |- ( V e. _V -> ( |^| (mzPolyCld ` V ) C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) ) /\ A. f e. |^| (mzPolyCld ` V ) A. g e. |^| (mzPolyCld ` V ) ( ( f oF + g ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) /\ ( f oF x. g ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) ) ) ) )
46 elmzpcl 37289 . . 3 |- ( V e. _V -> ( |^| (mzPolyCld ` V ) e. (mzPolyCld ` V ) <-> ( |^| (mzPolyCld ` V ) C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) ) /\ A. f e. |^| (mzPolyCld ` V ) A. g e. |^| (mzPolyCld ` V ) ( ( f oF + g ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) /\ ( f oF x. g ) e. |^| (mzPolyCld ` V ) ) ) ) ) )
4745, 46mpbird 247 . 2 |- ( V e. _V -> |^| (mzPolyCld ` V ) e. (mzPolyCld ` V ) )
481, 47eqeltrd 2701 1 |- ( V e. _V -> (mzPoly ` V ) e. (mzPolyCld ` V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   + caddc 9939   x. cmul 9941   ZZcz 11377  mzPolyCldcmzpcl 37284  mzPolycmzp 37285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287
This theorem is referenced by:  mzpconst  37298  mzpproj  37300  mzpadd  37301  mzpmul  37302
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