Theorem mzpclval 37288

Description: Substitution lemma for mzPolyCld. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpclval	|- ( V e. _V -> (mzPolyCld ` V ) = { p e. ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p ) /\ A. f e. p A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) ) } )

Distinct variable groups:   V, p, f, g   i, V, p   j, V, x, p

Proof of Theorem mzpclval

Dummy variables v a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( v = V -> ( ZZ ^m v ) = ( ZZ ^m V ) )
2	1	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( v = V -> ( ZZ ^m ( ZZ ^m v ) ) = ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) )
3	2	pweqd 4163	. . 3 |- ( v = V -> ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m v ) ) = ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) )
4	1	xpeq1d 5138	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( ( ZZ ^m v ) X. { a } ) = ( ( ZZ ^m V ) X. { a } ) )
5	4	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( ( ( ZZ ^m v ) X. { a } ) e. p <-> ( ( ZZ ^m V ) X. { a } ) e. p ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( A. a e. ZZ ( ( ZZ ^m v ) X. { a } ) e. p <-> A. a e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { a } ) e. p ) )
7		sneq 4187	. . . . . . . . 9 |- ( a = i -> { a } = { i } )
8	7	xpeq2d 5139	. . . . . . . 8 |- ( a = i -> ( ( ZZ ^m V ) X. { a } ) = ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) )
9	8	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( a = i -> ( ( ( ZZ ^m V ) X. { a } ) e. p <-> ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p ) )
10	9	cbvralv 3171	. . . . . 6 |- ( A. a e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { a } ) e. p <-> A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p )
11	6, 10	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( v = V -> ( A. a e. ZZ ( ( ZZ ^m v ) X. { a } ) e. p <-> A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p ) )
12	1	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( c e. ( ZZ ^m v ) |-> ( c ` b ) ) = ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) )
13	12	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( ( c e. ( ZZ ^m v ) |-> ( c ` b ) ) e. p <-> ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) e. p ) )
14	13	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( A. b e. v ( c e. ( ZZ ^m v ) |-> ( c ` b ) ) e. p <-> A. b e. V ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) e. p ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( b = j -> ( c ` b ) = ( c ` j ) )
16	15	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( b = j -> ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) = ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` j ) ) )
17	16	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( b = j -> ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) e. p <-> ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` j ) ) e. p ) )
18		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( c = x -> ( c ` j ) = ( x ` j ) )
19	18	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` j ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) )
20	19	eleq1i 2692	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` j ) ) e. p <-> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p )
21	17, 20	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( b = j -> ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) e. p <-> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p ) )
22	21	cbvralv 3171	. . . . . 6 |- ( A. b e. V ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) e. p <-> A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p )
23	14, 22	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( v = V -> ( A. b e. v ( c e. ( ZZ ^m v ) |-> ( c ` b ) ) e. p <-> A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p ) )
24	11, 23	anbi12d 747	. . . 4 |- ( v = V -> ( ( A. a e. ZZ ( ( ZZ ^m v ) X. { a } ) e. p /\ A. b e. v ( c e. ( ZZ ^m v ) |-> ( c ` b ) ) e. p ) <-> ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p ) ) )
25	24	anbi1d 741	. . 3 |- ( v = V -> ( ( ( A. a e. ZZ ( ( ZZ ^m v ) X. { a } ) e. p /\ A. b e. v ( c e. ( ZZ ^m v ) |-> ( c ` b ) ) e. p ) /\ A. f e. p A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) ) <-> ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p ) /\ A. f e. p A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) ) ) )
26	3, 25	rabeqbidv 3195	. 2 |- ( v = V -> { p e. ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m v ) ) | ( ( A. a e. ZZ ( ( ZZ ^m v ) X. { a } ) e. p /\ A. b e. v ( c e. ( ZZ ^m v ) |-> ( c ` b ) ) e. p ) /\ A. f e. p A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) ) } = { p e. ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p ) /\ A. f e. p A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) ) } )
27		df-mzpcl 37286	. 2 |- mzPolyCld = ( v e. _V |-> { p e. ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m v ) ) | ( ( A. a e. ZZ ( ( ZZ ^m v ) X. { a } ) e. p /\ A. b e. v ( c e. ( ZZ ^m v ) |-> ( c ` b ) ) e. p ) /\ A. f e. p A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) ) } )
28		ovex 6678	. . . 4 |- ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) e. _V
29	28	pwex 4848	. . 3 |- ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) e. _V
30	29	rabex 4813	. 2 |- { p e. ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p ) /\ A. f e. p A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) ) } e. _V
31	26, 27, 30	fvmpt 6282	1 |- ( V e. _V -> (mzPolyCld ` V ) = { p e. ~P ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) | ( ( A. i e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { i } ) e. p /\ A. j e. V ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( x ` j ) ) e. p ) /\ A. f e. p A. g e. p ( ( f oF + g ) e. p /\ ( f oF x. g ) e. p ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   + caddc 9939   x. cmul 9941   ZZcz 11377  mzPolyCldcmzpcl 37284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-mzpcl 37286

This theorem is referenced by:  elmzpcl  37289