Theorem elcls 20877

Description: Membership in a closure. Theorem 6.5(a) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
elcls	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, P   x, S   x, X

Proof of Theorem elcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . . . . . 8 |- X = U. J
2	1	cmclsopn 20866	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) e. J )
3	2	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) e. J )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) e. J )
5		eldif 3584	. . . . . . 7 |- ( P e. ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) <-> ( P e. X /\ -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
6	5	biimpri 218	. . . . . 6 |- ( ( P e. X /\ -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> P e. ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
7	6	3ad2antl3 1225	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> P e. ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
8		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ X )
9	1	sscls 20860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
10	8, 9	ssind 3837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ ( X i^i ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
11		dfin4 3867	. . . . . . . . . 10 |- ( X i^i ( ( cls ` J ) ` S ) ) = ( X \ ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
12	10, 11	syl6sseq 3651	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ ( X \ ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) ) )
13		reldisj 4020	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ X -> ( ( S i^i ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) ) = (/) <-> S C_ ( X \ ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) ) ) )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( S i^i ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) ) = (/) <-> S C_ ( X \ ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) ) ) )
15	12, 14	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( S i^i ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) ) = (/) )
16		nne 2798	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) i^i S ) =/= (/) <-> ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) i^i S ) = (/) )
17		incom 3805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) i^i S ) = ( S i^i ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
18	17	eqeq1i 2627	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) i^i S ) = (/) <-> ( S i^i ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) ) = (/) )
19	16, 18	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( -. ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) i^i S ) =/= (/) <-> ( S i^i ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) ) = (/) )
20	15, 19	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> -. ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) i^i S ) =/= (/) )
21	20	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> -. ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) i^i S ) =/= (/) )
22	21	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> -. ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) i^i S ) =/= (/) )
23		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( x = ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( P e. x <-> P e. ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) ) )
24		ineq1 3807	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( x i^i S ) = ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) i^i S ) )
25	24	neeq1d 2853	. . . . . . . 8 |- ( x = ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( x i^i S ) =/= (/) <-> ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) i^i S ) =/= (/) ) )
26	25	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( x = ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( -. ( x i^i S ) =/= (/) <-> -. ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) i^i S ) =/= (/) ) )
27	23, 26	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( x = ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( P e. x /\ -. ( x i^i S ) =/= (/) ) <-> ( P e. ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ -. ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) i^i S ) =/= (/) ) ) )
28	27	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) e. J /\ ( P e. ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ -. ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` S ) ) i^i S ) =/= (/) ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ -. ( x i^i S ) =/= (/) ) )
29	4, 7, 22, 28	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ -. ( x i^i S ) =/= (/) ) )
30		incom 3805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S i^i x ) = ( x i^i S )
31	30	eqeq1i 2627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S i^i x ) = (/) <-> ( x i^i S ) = (/) )
32		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x i^i S ) =/= (/) <-> -. ( x i^i S ) = (/) )
33	32	con2bii 347	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i S ) = (/) <-> -. ( x i^i S ) =/= (/) )
34	31, 33	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S i^i x ) = (/) <-> -. ( x i^i S ) =/= (/) )
35	1	opncld 20837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
36	35	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. J ) -> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. J ) /\ ( S i^i x ) = (/) ) -> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
38		reldisj 4020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S C_ X -> ( ( S i^i x ) = (/) <-> S C_ ( X \ x ) ) )
39	38	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S C_ X /\ ( S i^i x ) = (/) ) -> S C_ ( X \ x ) )
40	39	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( S i^i x ) = (/) ) -> S C_ ( X \ x ) )
41	40	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. J ) /\ ( S i^i x ) = (/) ) -> S C_ ( X \ x ) )
42	1	clsss2 20876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ ( X \ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ ( X \ x ) )
43	37, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. J ) /\ ( S i^i x ) = (/) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ ( X \ x ) )
44	43	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. J ) /\ ( S i^i x ) = (/) ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` S ) -> P e. ( X \ x ) ) )
45		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( X \ x ) -> -. P e. x )
46	44, 45	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. J ) /\ ( S i^i x ) = (/) ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` S ) -> -. P e. x ) )
47	46	con2d 129	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. J ) /\ ( S i^i x ) = (/) ) -> ( P e. x -> -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
48	34, 47	sylan2br 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. J ) /\ -. ( x i^i S ) =/= (/) ) -> ( P e. x -> -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
49	48	exp31 630	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( x e. J -> ( -. ( x i^i S ) =/= (/) -> ( P e. x -> -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) ) ) )
50	49	com34 91	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( x e. J -> ( P e. x -> ( -. ( x i^i S ) =/= (/) -> -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) ) ) )
51	50	imp4a 614	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( x e. J -> ( ( P e. x /\ -. ( x i^i S ) =/= (/) ) -> -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) ) )
52	51	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ -. ( x i^i S ) =/= (/) ) -> -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
53	52	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ E. x e. J ( P e. x /\ -. ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) )
54	53	3adantl3 1219	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) /\ E. x e. J ( P e. x /\ -. ( x i^i S ) =/= (/) ) ) -> -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) )
55	29, 54	impbida 877	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ -. ( x i^i S ) =/= (/) ) ) )
56		rexanali 2998	. . 3 |- ( E. x e. J ( P e. x /\ -. ( x i^i S ) =/= (/) ) <-> -. A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
57	55, 56	syl6bb 276	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( -. P e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> -. A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) )
58	57	con4bid 307	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> A. x e. J ( P e. x -> ( x i^i S ) =/= (/) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698   Clsdccld 20820   clsccl 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825

This theorem is referenced by:  elcls2  20878  clsndisj  20879  elcls3  20887  neindisj2  20927  islp3  20950  lmcls  21106  1stccnp  21265  txcls  21407  dfac14lem  21420  fclsopn  21818  metdseq0  22657  qndenserrn  40519