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Theorem ntrneix13 38397
Description: The closure of the union of any pair is equal to the union of closures if and only if the union of any pair belonging to the convergents of a point if equivalent to at least one of the pain belonging to the convergents of that point. (Contributed by RP, 19-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o |- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
ntrnei.f |- F = ( ~P B O B )
ntrnei.r |- ( ph -> I F N )
Assertion
Ref Expression
ntrneix13 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) = ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   B, i, j, k, l, m, s, t, x   k, I, l, m, x   ph, i, j, k, l, s, t, x
Allowed substitution hints:   ph( m)   F( x, t, i, j, k, m, s, l)   I( t, i, j, s)   N( x, t, i, j, k, m, s, l)   O( x, t, i, j, k, m, s, l)
Proof of Theorem ntrneix13
StepHypRef Expression
1 dfss3 3592 . . . . . . . . 9 |- ( ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. ( I ` ( s u. t ) ) x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) )
2 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . . 15 |- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
3 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( ~P B O B )
4 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> I F N )
52, 3, 4ntrneiiex 38374 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
65ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
7 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
92, 3, 4ntrneibex 38371 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. _V )
109ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> B e. _V )
11 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> s e. ~P B )
1211elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> s C_ B )
13 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> t e. ~P B )
1413elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> t C_ B )
1512, 14unssd 3789 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( s u. t ) C_ B )
1610, 15sselpwd 4807 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( s u. t ) e. ~P B )
178, 16ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` ( s u. t ) ) e. ~P B )
1817elpwid 4170 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` ( s u. t ) ) C_ B )
19 ralss 3668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` ( s u. t ) ) C_ B -> ( A. x e. ( I ` ( s u. t ) ) x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) -> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) ) )
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x e. ( I ` ( s u. t ) ) x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) -> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) ) )
211, 20syl5bb 272 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) -> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) ) )
22 dfss3 3592 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) C_ ( I ` ( s u. t ) ) <-> A. x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) x e. ( I ` ( s u. t ) ) )
238, 11ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` s ) e. ~P B )
2423elpwid 4170 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` s ) C_ B )
258, 13ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` t ) e. ~P B )
2625elpwid 4170 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` t ) C_ B )
2724, 26unssd 3789 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) C_ B )
28 ralss 3668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) C_ B -> ( A. x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) x e. ( I ` ( s u. t ) ) <-> A. x e. B ( x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) -> x e. ( I ` ( s u. t ) ) ) ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) x e. ( I ` ( s u. t ) ) <-> A. x e. B ( x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) -> x e. ( I ` ( s u. t ) ) ) ) )
3022, 29syl5bb 272 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) C_ ( I ` ( s u. t ) ) <-> A. x e. B ( x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) -> x e. ( I ` ( s u. t ) ) ) ) )
3121, 30anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) /\ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) C_ ( I ` ( s u. t ) ) ) <-> ( A. x e. B ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) -> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) /\ A. x e. B ( x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) -> x e. ( I ` ( s u. t ) ) ) ) ) )
32 eqss 3618 . . . . . . 7 |- ( ( I ` ( s u. t ) ) = ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> ( ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) /\ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) C_ ( I ` ( s u. t ) ) ) )
33 ralbiim 3069 . . . . . . 7 |- ( A. x e. B ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) <-> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) <-> ( A. x e. B ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) -> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) /\ A. x e. B ( x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) -> x e. ( I ` ( s u. t ) ) ) ) )
3431, 32, 333bitr4g 303 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( I ` ( s u. t ) ) = ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) <-> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) ) )
354ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> I F N )
36 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> x e. B )
379ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> B e. _V )
38 simpllr 799 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> s e. ~P B )
3938elpwid 4170 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> s C_ B )
40 simplr 792 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> t e. ~P B )
4140elpwid 4170 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> t C_ B )
4239, 41unssd 3789 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( s u. t ) C_ B )
4337, 42sselpwd 4807 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( s u. t ) e. ~P B )
442, 3, 35, 36, 43ntrneiel 38379 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) <-> ( s u. t ) e. ( N ` x ) ) )
45 elun 3753 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) )
462, 3, 35, 36, 38ntrneiel 38379 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` s ) <-> s e. ( N ` x ) ) )
472, 3, 35, 36, 40ntrneiel 38379 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` t ) <-> t e. ( N ` x ) ) )
4846, 47orbi12d 746 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) )
4945, 48syl5bb 272 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) )
5044, 49bibi12d 335 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) <-> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) <-> ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
5150ralbidva 2985 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x e. B ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) <-> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) <-> A. x e. B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
5234, 51bitrd 268 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( I ` ( s u. t ) ) = ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
5352ralbidva 2985 . . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) = ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
54 ralcom 3098 . . . 4 |- ( A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) <-> A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) )
5553, 54syl6bb 276 . . 3 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) = ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
5655ralbidva 2985 . 2 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) = ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. s e. ~P B A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
57 ralcom 3098 . 2 |- ( A. s e. ~P B A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) )
5856, 57syl6bb 276 1 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) = ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859
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