Theorem ntrneik4w 38398

Description: Idempotence of the interior function is equivalent to saying a set is a neighborhood of a point if and only if the interior of the set is a neighborhood of a point. (Contributed by RP, 11-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	|- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
ntrnei.f	|- F = ( ~P B O B )
ntrnei.r	|- ( ph -> I F N )

Assertion

Ref	Expression
ntrneik4w	|- ( ph -> ( A. s e. ~P B ( I ` ( I ` s ) ) = ( I ` s ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) <-> ( I ` s ) e. ( N ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, i, j, k, l, m, s, x   k, I, l, m, x   ph, i, j, k, l, s, x

Allowed substitution hints:   ph( m)   F( x, i, j, k, m, s, l)   I( i, j, s)   N( x, i, j, k, m, s, l)   O( x, i, j, k, m, s, l)

Proof of Theorem ntrneik4w

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2616	. . . . 5 |- ( ( I ` s ) = ( I ` ( I ` s ) ) <-> A. x ( x e. ( I ` s ) <-> x e. ( I ` ( I ` s ) ) ) )
2		eqcom 2629	. . . . 5 |- ( ( I ` ( I ` s ) ) = ( I ` s ) <-> ( I ` s ) = ( I ` ( I ` s ) ) )
3		ralv 3219	. . . . 5 |- ( A. x e. _V ( x e. ( I ` s ) <-> x e. ( I ` ( I ` s ) ) ) <-> A. x ( x e. ( I ` s ) <-> x e. ( I ` ( I ` s ) ) ) )
4	1, 2, 3	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( ( I ` ( I ` s ) ) = ( I ` s ) <-> A. x e. _V ( x e. ( I ` s ) <-> x e. ( I ` ( I ` s ) ) ) )
5		ssv 3625	. . . . . . 7 |- B C_ _V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> B C_ _V )
7		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
8		eldif 3584	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( _V \ B ) <-> ( x e. _V /\ -. x e. B ) )
9	7, 8	mpbiran 953	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( _V \ B ) <-> -. x e. B )
10		ntrnei.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
11		ntrnei.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F = ( ~P B O B )
12		ntrnei.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> I F N )
13	10, 11, 12	ntrneiiex 38374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
14		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I : ~P B --> ~P B )
16	15	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( I ` s ) e. ~P B )
17	16	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( I ` s ) C_ B )
18	17	sseld 3602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. B ) )
19	18	con3dimp 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ -. x e. B ) -> -. x e. ( I ` s ) )
20	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
21	20, 16	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( I ` ( I ` s ) ) e. ~P B )
22	21	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( I ` ( I ` s ) ) C_ B )
23	22	sseld 3602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( x e. ( I ` ( I ` s ) ) -> x e. B ) )
24	23	con3dimp 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ -. x e. B ) -> -. x e. ( I ` ( I ` s ) ) )
25	19, 24	2falsed 366	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ -. x e. B ) -> ( x e. ( I ` s ) <-> x e. ( I ` ( I ` s ) ) ) )
26	25	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( -. x e. B -> ( x e. ( I ` s ) <-> x e. ( I ` ( I ` s ) ) ) ) )
27	9, 26	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( x e. ( _V \ B ) -> ( x e. ( I ` s ) <-> x e. ( I ` ( I ` s ) ) ) ) )
28	27	ralrimiv 2965	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> A. x e. ( _V \ B ) ( x e. ( I ` s ) <-> x e. ( I ` ( I ` s ) ) ) )
29	6, 28	raldifeq 4059	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( A. x e. B ( x e. ( I ` s ) <-> x e. ( I ` ( I ` s ) ) ) <-> A. x e. _V ( x e. ( I ` s ) <-> x e. ( I ` ( I ` s ) ) ) ) )
30	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> I F N )
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ x e. B ) -> I F N )
32		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ x e. B ) -> x e. B )
33		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ x e. B ) -> s e. ~P B )
34	10, 11, 31, 32, 33	ntrneiel 38379	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` s ) <-> s e. ( N ` x ) ) )
35	16	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( I ` s ) e. ~P B )
36	10, 11, 31, 32, 35	ntrneiel 38379	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` ( I ` s ) ) <-> ( I ` s ) e. ( N ` x ) ) )
37	34, 36	bibi12d 335	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( ( x e. ( I ` s ) <-> x e. ( I ` ( I ` s ) ) ) <-> ( s e. ( N ` x ) <-> ( I ` s ) e. ( N ` x ) ) ) )
38	37	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( A. x e. B ( x e. ( I ` s ) <-> x e. ( I ` ( I ` s ) ) ) <-> A. x e. B ( s e. ( N ` x ) <-> ( I ` s ) e. ( N ` x ) ) ) )
39	29, 38	bitr3d 270	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( A. x e. _V ( x e. ( I ` s ) <-> x e. ( I ` ( I ` s ) ) ) <-> A. x e. B ( s e. ( N ` x ) <-> ( I ` s ) e. ( N ` x ) ) ) )
40	4, 39	syl5bb 272	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( ( I ` ( I ` s ) ) = ( I ` s ) <-> A. x e. B ( s e. ( N ` x ) <-> ( I ` s ) e. ( N ` x ) ) ) )
41	40	ralbidva 2985	. 2 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B ( I ` ( I ` s ) ) = ( I ` s ) <-> A. s e. ~P B A. x e. B ( s e. ( N ` x ) <-> ( I ` s ) e. ( N ` x ) ) ) )
42		ralcom 3098	. 2 |- ( A. s e. ~P B A. x e. B ( s e. ( N ` x ) <-> ( I ` s ) e. ( N ` x ) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) <-> ( I ` s ) e. ( N ` x ) ) )
43	41, 42	syl6bb 276	1 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B ( I ` ( I ` s ) ) = ( I ` s ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) <-> ( I ` s ) e. ( N ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  ntrneik4  38399