Theorem oieq2 8418

Description: Equality theorem for ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oieq2	|- ( A = B -> OrdIso ( R , A ) = OrdIso ( R , B ) )

Proof of Theorem oieq2

Dummy variables h j t u v w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weeq2 5103	. . . 4 |- ( A = B -> ( R We A <-> R We B ) )
2		seeq2 5087	. . . 4 |- ( A = B -> ( R Se A <-> R Se B ) )
3	1, 2	anbi12d 747	. . 3 |- ( A = B -> ( ( R We A /\ R Se A ) <-> ( R We B /\ R Se B ) ) )
4		rabeq 3192	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { w e. B | A. j e. ran h j R w } )
5	4	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v <-> A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) )
6	4, 5	riotaeqbidv 6614	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) = ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) )
7	6	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( A = B -> ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) )
8		recseq 7470	. . . . 5 |- ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) )
9	7, 8	syl 17	. . . 4 |- ( A = B -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) )
10	9	imaeq1d 5465	. . . . . . 7 |- ( A = B -> (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) )
11	10	raleqdv 3144	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t <-> A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t ) )
12	11	rexeqbi1dv 3147	. . . . 5 |- ( A = B -> ( E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t <-> E. t e. B A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t ) )
13	12	rabbidv 3189	. . . 4 |- ( A = B -> { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } = { x e. On | E. t e. B A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } )
14	9, 13	reseq12d 5397	. . 3 |- ( A = B -> (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) = (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. B A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) )
15	3, 14	ifbieq1d 4109	. 2 |- ( A = B -> if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) ) = if ( ( R We B /\ R Se B ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. B A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) ) )
16		df-oi 8415	. 2 |- OrdIso ( R , A ) = if ( ( R We A /\ R Se A ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) )
17		df-oi 8415	. 2 |- OrdIso ( R , B ) = if ( ( R We B /\ R Se B ) , (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. B A. z e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) )
18	15, 16, 17	3eqtr4g 2681	1 |- ( A = B -> OrdIso ( R , A ) = OrdIso ( R , B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Se wse 5071   We wwe 5072   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Oncon0 5723   iota_crio 6610  recscrecs 7467  OrdIsocoi 8414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fv 5896  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-oi 8415

This theorem is referenced by:  hartogslem1  8447  cantnfval  8565  cantnf0  8572  cantnfres  8574  cantnf  8590  dfac12lem1  8965  dfac12r  8968  hsmexlem2  9249  hsmexlem4  9251  ltbwe  19472