Theorem onssmin 6997

Description: A nonempty class of ordinal numbers has the smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 3-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onssmin	|- ( ( A C_ On /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A x C_ y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem onssmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 6995	. 2 |- ( ( A C_ On /\ A =/= (/) ) -> |^| A e. A )
2		intss1 4492	. . 3 |- ( y e. A -> |^| A C_ y )
3	2	rgen 2922	. 2 |- A. y e. A |^| A C_ y
4		sseq1 3626	. . . 4 |- ( x = |^| A -> ( x C_ y <-> |^| A C_ y ) )
5	4	ralbidv 2986	. . 3 |- ( x = |^| A -> ( A. y e. A x C_ y <-> A. y e. A |^| A C_ y ) )
6	5	rspcev 3309	. 2 |- ( ( |^| A e. A /\ A. y e. A |^| A C_ y ) -> E. x e. A A. y e. A x C_ y )
7	1, 3, 6	sylancl 694	1 |- ( ( A C_ On /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A x C_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|cint 4475   Oncon0 5723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727

This theorem is referenced by: (None)