Theorem oplecon3b 34487

Description: Contraposition law for orthoposets. (chsscon3 28359 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opcon3.b	|- B = ( Base ` K )
opcon3.l	|- .<_ = ( le ` K )
opcon3.o	|- ._|_ = ( oc ` K )

Assertion

Ref	Expression
oplecon3b	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) ) )

Proof of Theorem oplecon3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opcon3.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		opcon3.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
3		opcon3.o	. . 3 |- ._|_ = ( oc ` K )
4	1, 2, 3	oplecon3 34486	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) ) )
5		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. OP )
6	1, 3	opoccl 34481	. . . . 5 |- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
7	6	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
8	1, 3	opoccl 34481	. . . . 5 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
9	8	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
10	1, 2, 3	oplecon3 34486	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ ( ._|_ ` Y ) e. B /\ ( ._|_ ` X ) e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) )
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) )
12	1, 3	opococ 34482	. . . . 5 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
13	12	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
14	1, 3	opococ 34482	. . . . 5 |- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
15	14	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
16	13, 15	breq12d 4666	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) <-> X .<_ Y ) )
17	11, 16	sylibd 229	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) -> X .<_ Y ) )
18	4, 17	impbid 202	1 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   occoc 15949   OPcops 34459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oposet 34463

This theorem is referenced by:  oplecon1b  34488  opltcon3b  34491  oldmm1  34504  omllaw4  34533  cvrcmp2  34571  glbconN  34663  lhpmod2i2  35324  lhpmod6i1  35325  lhprelat3N  35326  dochss  36654