Theorem lhprelat3N 35326

Description: The Hilbert lattice is relatively atomic with respect to co-atoms (lattice hyperplanes). Dual version of hlrelat3 34698. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhprelat3.b	|- B = ( Base ` K )
lhprelat3.l	|- .<_ = ( le ` K )
lhprelat3.s	|- .< = ( lt ` K )
lhprelat3.m	|- ./\ = ( meet ` K )
lhprelat3.c	|- C = ( <o ` K )
lhprelat3.h	|- H = ( LHyp ` K )

Assertion

Ref	Expression
lhprelat3N	|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> E. w e. H ( X .<_ ( Y ./\ w ) /\ ( Y ./\ w ) C Y ) )

Distinct variable groups:   w, C   w, H   w, K   w, .<_   w, ./\   w, X   w, Y

Allowed substitution hints:   B( w)   .< ( w)

Proof of Theorem lhprelat3N

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> p e. ( Atoms ` K ) )
2		simpll1 1100	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> K e. HL )
3		lhprelat3.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` K )
4		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
5	3, 4	atbase 34576	. . . . . . 7 |- ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
6	5	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> p e. B )
7		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( oc ` K ) = ( oc ` K )
8		lhprelat3.h	. . . . . . 7 |- H = ( LHyp ` K )
9	3, 7, 4, 8	lhpoc2N 35301	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ p e. B ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) <-> ( ( oc ` K ) ` p ) e. H ) )
10	2, 6, 9	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) <-> ( ( oc ` K ) ` p ) e. H ) )
11	1, 10	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( oc ` K ) ` p ) e. H )
12	11	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( ( oc ` K ) ` Y ) C ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) .<_ ( ( oc ` K ) ` X ) ) ) -> ( ( oc ` K ) ` p ) e. H )
13		hlop 34649	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. OP )
14	2, 13	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> K e. OP )
15		hllat 34650	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
16	2, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> K e. Lat )
17		simpll3 1102	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> Y e. B )
18	3, 7	opoccl 34481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. OP /\ p e. B ) -> ( ( oc ` K ) ` p ) e. B )
19	14, 6, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( oc ` K ) ` p ) e. B )
20		lhprelat3.m	. . . . . . . . . 10 |- ./\ = ( meet ` K )
21	3, 20	latmcl 17052	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ ( ( oc ` K ) ` p ) e. B ) -> ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) e. B )
22	16, 17, 19, 21	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) e. B )
23		lhprelat3.c	. . . . . . . . 9 |- C = ( <o ` K )
24	3, 7, 23	cvrcon3b 34564	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. OP /\ ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) C Y <-> ( ( oc ` K ) ` Y ) C ( ( oc ` K ) ` ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) ) ) )
25	14, 22, 17, 24	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) C Y <-> ( ( oc ` K ) ` Y ) C ( ( oc ` K ) ` ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) ) ) )
26		hlol 34648	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. HL -> K e. OL )
27	2, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> K e. OL )
28		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
29	3, 28, 20, 7	oldmm3N 34506	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. OL /\ Y e. B /\ p e. B ) -> ( ( oc ` K ) ` ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) ) = ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) )
30	27, 17, 6, 29	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( oc ` K ) ` ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) ) = ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) )
31	30	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( ( oc ` K ) ` Y ) C ( ( oc ` K ) ` ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) ) <-> ( ( oc ` K ) ` Y ) C ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) ) )
32	25, 31	bitr2d 269	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( ( oc ` K ) ` Y ) C ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) <-> ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) C Y ) )
33		simpll2 1101	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> X e. B )
34		lhprelat3.l	. . . . . . . . 9 |- .<_ = ( le ` K )
35	3, 34, 7	oplecon3b 34487	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) e. B ) -> ( X .<_ ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) <-> ( ( oc ` K ) ` ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) ) .<_ ( ( oc ` K ) ` X ) ) )
36	14, 33, 22, 35	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( X .<_ ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) <-> ( ( oc ` K ) ` ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) ) .<_ ( ( oc ` K ) ` X ) ) )
37	30	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( ( oc ` K ) ` ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) ) .<_ ( ( oc ` K ) ` X ) <-> ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) .<_ ( ( oc ` K ) ` X ) ) )
38	36, 37	bitr2d 269	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) .<_ ( ( oc ` K ) ` X ) <-> X .<_ ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) ) )
39	32, 38	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( ( ( oc ` K ) ` Y ) C ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) .<_ ( ( oc ` K ) ` X ) ) <-> ( ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) C Y /\ X .<_ ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) ) ) )
40	39	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( ( oc ` K ) ` Y ) C ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) .<_ ( ( oc ` K ) ` X ) ) ) -> ( ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) C Y /\ X .<_ ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) ) )
41	40	ancomd 467	. . 3 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( ( oc ` K ) ` Y ) C ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) .<_ ( ( oc ` K ) ` X ) ) ) -> ( X .<_ ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) /\ ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) C Y ) )
42		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( w = ( ( oc ` K ) ` p ) -> ( Y ./\ w ) = ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) )
43	42	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( w = ( ( oc ` K ) ` p ) -> ( X .<_ ( Y ./\ w ) <-> X .<_ ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) ) )
44	42	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( w = ( ( oc ` K ) ` p ) -> ( ( Y ./\ w ) C Y <-> ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) C Y ) )
45	43, 44	anbi12d 747	. . . 4 |- ( w = ( ( oc ` K ) ` p ) -> ( ( X .<_ ( Y ./\ w ) /\ ( Y ./\ w ) C Y ) <-> ( X .<_ ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) /\ ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) C Y ) ) )
46	45	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( ( oc ` K ) ` p ) e. H /\ ( X .<_ ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) /\ ( Y ./\ ( ( oc ` K ) ` p ) ) C Y ) ) -> E. w e. H ( X .<_ ( Y ./\ w ) /\ ( Y ./\ w ) C Y ) )
47	12, 41, 46	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( ( oc ` K ) ` Y ) C ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) .<_ ( ( oc ` K ) ` X ) ) ) -> E. w e. H ( X .<_ ( Y ./\ w ) /\ ( Y ./\ w ) C Y ) )
48		simpl1 1064	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> K e. HL )
49	48, 13	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> K e. OP )
50		simpl3 1066	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> Y e. B )
51	3, 7	opoccl 34481	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ( oc ` K ) ` Y ) e. B )
52	49, 50, 51	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> ( ( oc ` K ) ` Y ) e. B )
53		simpl2 1065	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> X e. B )
54	3, 7	opoccl 34481	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ( oc ` K ) ` X ) e. B )
55	49, 53, 54	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> ( ( oc ` K ) ` X ) e. B )
56		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> X .< Y )
57		lhprelat3.s	. . . . . 6 |- .< = ( lt ` K )
58	3, 57, 7	opltcon3b 34491	. . . . 5 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< Y <-> ( ( oc ` K ) ` Y ) .< ( ( oc ` K ) ` X ) ) )
59	49, 53, 50, 58	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> ( X .< Y <-> ( ( oc ` K ) ` Y ) .< ( ( oc ` K ) ` X ) ) )
60	56, 59	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> ( ( oc ` K ) ` Y ) .< ( ( oc ` K ) ` X ) )
61	3, 34, 57, 28, 23, 4	hlrelat3 34698	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ ( ( oc ` K ) ` Y ) e. B /\ ( ( oc ` K ) ` X ) e. B ) /\ ( ( oc ` K ) ` Y ) .< ( ( oc ` K ) ` X ) ) -> E. p e. ( Atoms ` K ) ( ( ( oc ` K ) ` Y ) C ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) .<_ ( ( oc ` K ) ` X ) ) )
62	48, 52, 55, 60, 61	syl31anc 1329	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> E. p e. ( Atoms ` K ) ( ( ( oc ` K ) ` Y ) C ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( ( oc ` K ) ` Y ) ( join ` K ) p ) .<_ ( ( oc ` K ) ` X ) ) )
63	47, 62	r19.29a 3078	1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> E. w e. H ( X .<_ ( Y ./\ w ) /\ ( Y ./\ w ) C Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   occoc 15949   ltcplt 16941   joincjn 16944   meetcmee 16945   Latclat 17045   OPcops 34459   OLcol 34461   <o ccvr 34549   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-lhyp 35274

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