Theorem opoc0 34490

Description: Orthocomplement of orthoposet zero. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoc1.z	|- .0. = ( 0. ` K )
opoc1.u	|- .1. = ( 1. ` K )
opoc1.o	|- ._|_ = ( oc ` K )

Assertion

Ref	Expression
opoc0	|- ( K e. OP -> ( ._|_ ` .0. ) = .1. )

Proof of Theorem opoc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoc1.z	. . 3 |- .0. = ( 0. ` K )
2		opoc1.u	. . 3 |- .1. = ( 1. ` K )
3		opoc1.o	. . 3 |- ._|_ = ( oc ` K )
4	1, 2, 3	opoc1 34489	. 2 |- ( K e. OP -> ( ._|_ ` .1. ) = .0. )
5		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
6	5, 2	op1cl 34472	. . 3 |- ( K e. OP -> .1. e. ( Base ` K ) )
7	5, 1	op0cl 34471	. . 3 |- ( K e. OP -> .0. e. ( Base ` K ) )
8	5, 3	opcon1b 34485	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ .1. e. ( Base ` K ) /\ .0. e. ( Base ` K ) ) -> ( ( ._|_ ` .1. ) = .0. <-> ( ._|_ ` .0. ) = .1. ) )
9	6, 7, 8	mpd3an23 1426	. 2 |- ( K e. OP -> ( ( ._|_ ` .1. ) = .0. <-> ( ._|_ ` .0. ) = .1. ) )
10	4, 9	mpbid 222	1 |- ( K e. OP -> ( ._|_ ` .0. ) = .1. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888   Basecbs 15857   occoc 15949   0.cp0 17037   1.cp1 17038   OPcops 34459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-preset 16928  df-poset 16946  df-lub 16974  df-glb 16975  df-p0 17039  df-p1 17040  df-oposet 34463

This theorem is referenced by:  1cvrjat  34761  doch0  36647