Theorem op0cl 34471

Description: An orthoposet has a zero element. (h0elch 28112 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op0cl.b	|- B = ( Base ` K )
op0cl.z	|- .0. = ( 0. ` K )

Assertion

Ref	Expression
op0cl	|- ( K e. OP -> .0. e. B )

Proof of Theorem op0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( glb ` K ) = ( glb ` K )
3		op0cl.z	. . 3 |- .0. = ( 0. ` K )
4	1, 2, 3	p0val 17041	. 2 |- ( K e. OP -> .0. = ( ( glb ` K ) ` B ) )
5		id 22	. . 3 |- ( K e. OP -> K e. OP )
6		eqid 2622	. . . . 5 |- ( lub ` K ) = ( lub ` K )
7	1, 6, 2	op01dm 34470	. . . 4 |- ( K e. OP -> ( B e. dom ( lub ` K ) /\ B e. dom ( glb ` K ) ) )
8	7	simprd 479	. . 3 |- ( K e. OP -> B e. dom ( glb ` K ) )
9	1, 2, 5, 8	glbcl 16998	. 2 |- ( K e. OP -> ( ( glb ` K ) ` B ) e. B )
10	4, 9	eqeltrd 2701	1 |- ( K e. OP -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   dom cdm 5114   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lubclub 16942   glbcglb 16943   0.cp0 17037   OPcops 34459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-glb 16975  df-p0 17039  df-oposet 34463

This theorem is referenced by:  ople0  34474  lub0N  34476  opltn0  34477  opoc1  34489  opoc0  34490  olj01  34512  olj02  34513  olm01  34523  olm02  34524  0ltat  34578  leatb  34579  hlhgt2  34675  hl0lt1N  34676  hl2at  34691  atcvr0eq  34712  lnnat  34713  atle  34722  athgt  34742  1cvratex  34759  ps-2  34764  dalemcea  34946  pmapeq0  35052  2atm2atN  35071  lhp0lt  35289  lhpn0  35290  ltrnatb  35423  ltrnmwOLD  35438  cdleme3c  35517  cdleme7e  35534  dia0eldmN  36329  dia2dimlem2  36354  dia2dimlem3  36355  dib0  36453  dih0  36569  dih0bN  36570  dih0rn  36573  dihlspsnssN  36621  dihlspsnat  36622  dihatexv  36627