Theorem ordtprsuni 29965

Description: Value of the order topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtNEW.b	|- B = ( Base ` K )
ordtNEW.l	|- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
ordtposval.e	|- E = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } )
ordtposval.f	|- F = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } )

Assertion

Ref	Expression
ordtprsuni	|- ( K e. Preset -> B = U. ( { B } u. ( E u. F ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, .<_   x, B, y   x, K, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem ordtprsuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtNEW.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` K )
2		ordtNEW.l	. . . . . 6 |- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
3	1, 2	prsdm 29960	. . . . 5 |- ( K e. Preset -> dom .<_ = B )
4	3	sneqd 4189	. . . 4 |- ( K e. Preset -> { dom .<_ } = { B } )
5		biidd 252	. . . . . . . 8 |- ( K e. Preset -> ( -. y .<_ x <-> -. y .<_ x ) )
6	3, 5	rabeqbidv 3195	. . . . . . 7 |- ( K e. Preset -> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } = { y e. B | -. y .<_ x } )
7	3, 6	mpteq12dv 4733	. . . . . 6 |- ( K e. Preset -> ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) = ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) )
8	7	rneqd 5353	. . . . 5 |- ( K e. Preset -> ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) )
9		biidd 252	. . . . . . . 8 |- ( K e. Preset -> ( -. x .<_ y <-> -. x .<_ y ) )
10	3, 9	rabeqbidv 3195	. . . . . . 7 |- ( K e. Preset -> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } = { y e. B | -. x .<_ y } )
11	3, 10	mpteq12dv 4733	. . . . . 6 |- ( K e. Preset -> ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) = ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) )
12	11	rneqd 5353	. . . . 5 |- ( K e. Preset -> ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) )
13	8, 12	uneq12d 3768	. . . 4 |- ( K e. Preset -> ( ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) ) = ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) ) )
14	4, 13	uneq12d 3768	. . 3 |- ( K e. Preset -> ( { dom .<_ } u. ( ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) ) ) = ( { B } u. ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) ) ) )
15	14	unieqd 4446	. 2 |- ( K e. Preset -> U. ( { dom .<_ } u. ( ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) ) ) = U. ( { B } u. ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) ) ) )
16		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( le ` K ) e. _V
17	16	inex1 4799	. . . . 5 |- ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) e. _V
18	2, 17	eqeltri 2697	. . . 4 |- .<_ e. _V
19		eqid 2622	. . . . 5 |- dom .<_ = dom .<_
20		eqid 2622	. . . . 5 |- ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) = ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } )
21		eqid 2622	. . . . 5 |- ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) = ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } )
22	19, 20, 21	ordtuni 20994	. . . 4 |- ( .<_ e. _V -> dom .<_ = U. ( { dom .<_ } u. ( ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) ) ) )
23	18, 22	ax-mp 5	. . 3 |- dom .<_ = U. ( { dom .<_ } u. ( ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) ) )
24	23, 3	syl5reqr 2671	. 2 |- ( K e. Preset -> B = U. ( { dom .<_ } u. ( ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) ) ) )
25		ordtposval.e	. . . . . 6 |- E = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } )
26		ordtposval.f	. . . . . 6 |- F = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } )
27	25, 26	uneq12i 3765	. . . . 5 |- ( E u. F ) = ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) )
28	27	a1i 11	. . . 4 |- ( K e. Preset -> ( E u. F ) = ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) ) )
29	28	uneq2d 3767	. . 3 |- ( K e. Preset -> ( { B } u. ( E u. F ) ) = ( { B } u. ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) ) ) )
30	29	unieqd 4446	. 2 |- ( K e. Preset -> U. ( { B } u. ( E u. F ) ) = U. ( { B } u. ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) ) ) )
31	15, 24, 30	3eqtr4d 2666	1 |- ( K e. Preset -> B = U. ( { B } u. ( E u. F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Preset cpreset 16926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-preset 16928

This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  29969