Theorem ordtcnvNEW 29966

Description: The order dual generates the same topology as the original order. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtNEW.b	|- B = ( Base ` K )
ordtNEW.l	|- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )

Assertion

Ref	Expression
ordtcnvNEW	|- ( K e. Preset -> (ordTop ` `' .<_ ) = (ordTop ` .<_ ) )

Proof of Theorem ordtcnvNEW

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
2		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
3	1, 2	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y `' .<_ x <-> x .<_ y )
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. Preset -> ( y `' .<_ x <-> x .<_ y ) )
5	4	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Preset -> ( -. y `' .<_ x <-> -. x .<_ y ) )
6	5	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Preset -> { y e. B | -. y `' .<_ x } = { y e. B | -. x .<_ y } )
7	6	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( K e. Preset -> ( x e. B |-> { y e. B | -. y `' .<_ x } ) = ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) )
8	7	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( K e. Preset -> ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y `' .<_ x } ) = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) )
9	2, 1	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x `' .<_ y <-> y .<_ x )
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. Preset -> ( x `' .<_ y <-> y .<_ x ) )
11	10	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Preset -> ( -. x `' .<_ y <-> -. y .<_ x ) )
12	11	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Preset -> { y e. B | -. x `' .<_ y } = { y e. B | -. y .<_ x } )
13	12	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( K e. Preset -> ( x e. B |-> { y e. B | -. x `' .<_ y } ) = ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) )
14	13	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( K e. Preset -> ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x `' .<_ y } ) = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) )
15	8, 14	uneq12d 3768	. . . . . 6 |- ( K e. Preset -> ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y `' .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x `' .<_ y } ) ) = ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) ) )
16		uncom 3757	. . . . . 6 |- ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) ) = ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) )
17	15, 16	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( K e. Preset -> ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y `' .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x `' .<_ y } ) ) = ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) ) )
18	17	uneq2d 3767	. . . 4 |- ( K e. Preset -> ( { B } u. ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y `' .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x `' .<_ y } ) ) ) = ( { B } u. ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) ) ) )
19	18	fveq2d 6195	. . 3 |- ( K e. Preset -> ( fi ` ( { B } u. ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y `' .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x `' .<_ y } ) ) ) ) = ( fi ` ( { B } u. ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) ) ) ) )
20	19	fveq2d 6195	. 2 |- ( K e. Preset -> ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y `' .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x `' .<_ y } ) ) ) ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) ) ) ) ) )
21		eqid 2622	. . . 4 |- (ODual ` K ) = (ODual ` K )
22	21	oduprs 29656	. . 3 |- ( K e. Preset -> (ODual ` K ) e. Preset )
23		ordtNEW.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
24	21, 23	odubas 17133	. . . 4 |- B = ( Base ` (ODual ` K ) )
25		ordtNEW.l	. . . . . 6 |- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
26	25	cnveqi 5297	. . . . 5 |- `' .<_ = `' ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
27		cnvin 5540	. . . . 5 |- `' ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) = ( `' ( le ` K ) i^i `' ( B X. B ) )
28		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
29	21, 28	oduleval 17131	. . . . . 6 |- `' ( le ` K ) = ( le ` (ODual ` K ) )
30		cnvxp 5551	. . . . . 6 |- `' ( B X. B ) = ( B X. B )
31	29, 30	ineq12i 3812	. . . . 5 |- ( `' ( le ` K ) i^i `' ( B X. B ) ) = ( ( le ` (ODual ` K ) ) i^i ( B X. B ) )
32	26, 27, 31	3eqtri 2648	. . . 4 |- `' .<_ = ( ( le ` (ODual ` K ) ) i^i ( B X. B ) )
33		eqid 2622	. . . 4 |- ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y `' .<_ x } ) = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y `' .<_ x } )
34		eqid 2622	. . . 4 |- ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x `' .<_ y } ) = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x `' .<_ y } )
35	24, 32, 33, 34	ordtprsval 29964	. . 3 |- ( (ODual ` K ) e. Preset -> (ordTop ` `' .<_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y `' .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x `' .<_ y } ) ) ) ) ) )
36	22, 35	syl 17	. 2 |- ( K e. Preset -> (ordTop ` `' .<_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y `' .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x `' .<_ y } ) ) ) ) ) )
37		eqid 2622	. . 3 |- ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } )
38		eqid 2622	. . 3 |- ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } )
39	23, 25, 37, 38	ordtprsval 29964	. 2 |- ( K e. Preset -> (ordTop ` .<_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) ) ) ) ) )
40	20, 36, 39	3eqtr4d 2666	1 |- ( K e. Preset -> (ordTop ` `' .<_ ) = (ordTop ` .<_ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   u. cun 3572   i^i cin 3573   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   ` cfv 5888   ficfi 8316   Basecbs 15857   lecple 15948   topGenctg 16098  ordTopcordt 16159   Preset cpreset 16926  ODualcodu 17128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ple 15961  df-ordt 16161  df-preset 16928  df-odu 17129

This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  29969