Theorem ordtuni 20994

Description: Value of the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtval.1	|- X = dom R
ordtval.2	|- A = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
ordtval.3	|- B = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )

Assertion

Ref	Expression
ordtuni	|- ( R e. V -> X = U. ( { X } u. ( A u. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, X, y   x, V

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   V( y)

Proof of Theorem ordtuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtval.1	. . . . . 6 |- X = dom R
2		dmexg 7097	. . . . . 6 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
3	1, 2	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( R e. V -> X e. _V )
4		unisng 4452	. . . . 5 |- ( X e. _V -> U. { X } = X )
5	3, 4	syl 17	. . . 4 |- ( R e. V -> U. { X } = X )
6	5	uneq1d 3766	. . 3 |- ( R e. V -> ( U. { X } u. U. ( A u. B ) ) = ( X u. U. ( A u. B ) ) )
7		ordtval.2	. . . . . . 7 |- A = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
8		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { y e. X | -. y R x } C_ X
9	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ x e. X ) -> X e. _V )
10		elpw2g 4827	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. _V -> ( { y e. X | -. y R x } e. ~P X <-> { y e. X | -. y R x } C_ X ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ x e. X ) -> ( { y e. X | -. y R x } e. ~P X <-> { y e. X | -. y R x } C_ X ) )
12	8, 11	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ x e. X ) -> { y e. X | -. y R x } e. ~P X )
13		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) = ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
14	12, 13	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( R e. V -> ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) : X --> ~P X )
15		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) : X --> ~P X -> ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) C_ ~P X )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( R e. V -> ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) C_ ~P X )
17	7, 16	syl5eqss 3649	. . . . . 6 |- ( R e. V -> A C_ ~P X )
18		ordtval.3	. . . . . . 7 |- B = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )
19		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { y e. X | -. x R y } C_ X
20		elpw2g 4827	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. _V -> ( { y e. X | -. x R y } e. ~P X <-> { y e. X | -. x R y } C_ X ) )
21	9, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ x e. X ) -> ( { y e. X | -. x R y } e. ~P X <-> { y e. X | -. x R y } C_ X ) )
22	19, 21	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ x e. X ) -> { y e. X | -. x R y } e. ~P X )
23		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) = ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )
24	22, 23	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( R e. V -> ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) : X --> ~P X )
25		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) : X --> ~P X -> ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) C_ ~P X )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( R e. V -> ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) C_ ~P X )
27	18, 26	syl5eqss 3649	. . . . . 6 |- ( R e. V -> B C_ ~P X )
28	17, 27	unssd 3789	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( A u. B ) C_ ~P X )
29		sspwuni 4611	. . . . 5 |- ( ( A u. B ) C_ ~P X <-> U. ( A u. B ) C_ X )
30	28, 29	sylib 208	. . . 4 |- ( R e. V -> U. ( A u. B ) C_ X )
31		ssequn2 3786	. . . 4 |- ( U. ( A u. B ) C_ X <-> ( X u. U. ( A u. B ) ) = X )
32	30, 31	sylib 208	. . 3 |- ( R e. V -> ( X u. U. ( A u. B ) ) = X )
33	6, 32	eqtr2d 2657	. 2 |- ( R e. V -> X = ( U. { X } u. U. ( A u. B ) ) )
34		uniun 4456	. 2 |- U. ( { X } u. ( A u. B ) ) = ( U. { X } u. U. ( A u. B ) )
35	33, 34	syl6eqr 2674	1 |- ( R e. V -> X = U. ( { X } u. ( A u. B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  ordtbas2  20995  ordtbas  20996  ordttopon  20997  ordtopn1  20998  ordtopn2  20999  ordtrest2  21008  ordthmeolem  21604  ordtprsuni  29965