Theorem ordtrest2NEW 29969

Description: An interval-closed set A in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in RR, but in other sets like QQ there are interval-closed sets like ( pi , +oo ) i^i QQ that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtNEW.b	|- B = ( Base ` K )
ordtNEW.l	|- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
ordtrest2NEW.2	|- ( ph -> K e. Toset )
ordtrest2NEW.3	|- ( ph -> A C_ B )
ordtrest2NEW.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. B | ( x .<_ z /\ z .<_ y ) } C_ A )

Assertion

Ref	Expression
ordtrest2NEW	|- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )

Distinct variable groups:   x, y, .<_   x, B, y   x, K, y   x, A, y, z   z, .<_   z, A   z, B   ph, x, y, z   z, K

Proof of Theorem ordtrest2NEW

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtrest2NEW.2	. . . 4 |- ( ph -> K e. Toset )
2		tospos 29658	. . . 4 |- ( K e. Toset -> K e. Poset )
3		posprs 16949	. . . 4 |- ( K e. Poset -> K e. Preset )
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> K e. Preset )
5		ordtrest2NEW.3	. . 3 |- ( ph -> A C_ B )
6		ordtNEW.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
7		ordtNEW.l	. . . 4 |- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
8	6, 7	ordtrestNEW 29967	. . 3 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
9	4, 5, 8	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
10		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) = ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } )
11		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) = ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } )
12	6, 7, 10, 11	ordtprsval 29964	. . . . . . 7 |- ( K e. Preset -> (ordTop ` .<_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) )
13	4, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> (ordTop ` .<_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) )
14	13	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
15		fibas 20781	. . . . . 6 |- ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) e. TopBases
16		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` K ) e. _V
17	6, 16	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- B e. _V
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. _V )
19	18, 5	ssexd 4805	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. _V )
20		tgrest 20963	. . . . . 6 |- ( ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
21	15, 19, 20	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
22	14, 21	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ph -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A ) ) )
23		firest 16093	. . . . 5 |- ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A )
24	23	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A ) )
25	22, 24	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ph -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) = ( topGen ` ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) ) )
26		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( le ` K ) e. _V
27	26	inex1 4799	. . . . . . 7 |- ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) e. _V
28	7, 27	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- .<_ e. _V
29	28	inex1 4799	. . . . 5 |- ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V
30		ordttop 21004	. . . . 5 |- ( ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
31	29, 30	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
32	6, 7, 10, 11	ordtprsuni 29965	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Preset -> B = U. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) )
33	4, 32	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = U. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) )
34	33, 18	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V )
35		uniexb 6973	. . . . . . 7 |- ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V <-> U. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V )
36	34, 35	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V )
37		restval 16087	. . . . . 6 |- ( ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) = ran ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) )
38	36, 19, 37	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) = ran ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) )
39		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ B <-> ( B i^i A ) = A )
40	5, 39	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B i^i A ) = A )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = dom ( .<_ i^i ( A X. A ) )
42	41	ordttopon 20997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
43	29, 42	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
44	6, 7	prsssdm 29963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = A )
45	4, 5, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = A )
46	45	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (TopOn ` dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (TopOn ` A ) )
47	43, 46	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) )
48		toponmax 20730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) -> A e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
50	40, 49	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
51		elsni 4194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. { B } -> v = B )
52	51	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. { B } -> ( v i^i A ) = ( B i^i A ) )
53	52	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. { B } -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( B i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
54	50, 53	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( v e. { B } -> ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
55	54	ralrimiv 2965	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. { B } ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
56		ordtrest2NEW.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. B | ( x .<_ z /\ z .<_ y ) } C_ A )
57	6, 7, 1, 5, 56	ordtrest2NEWlem 29968	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (ODual ` K ) = (ODual ` K )
59	58, 6	odubas 17133	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` (ODual ` K ) )
60	7	cnveqi 5297	. . . . . . . . . . . 12 |- `' .<_ = `' ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
61		cnvin 5540	. . . . . . . . . . . . 13 |- `' ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) = ( `' ( le ` K ) i^i `' ( B X. B ) )
62		cnvxp 5551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( B X. B ) = ( B X. B )
63	62	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' ( le ` K ) i^i `' ( B X. B ) ) = ( `' ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
64		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
65	58, 64	oduleval 17131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( le ` K ) = ( le ` (ODual ` K ) )
66	65	ineq1i 3810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) = ( ( le ` (ODual ` K ) ) i^i ( B X. B ) )
67	61, 63, 66	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . 12 |- `' ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) = ( ( le ` (ODual ` K ) ) i^i ( B X. B ) )
68	60, 67	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- `' .<_ = ( ( le ` (ODual ` K ) ) i^i ( B X. B ) )
69	58	odutos 29663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Toset -> (ODual ` K ) e. Toset )
70	1, 69	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (ODual ` K ) e. Toset )
71		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
72		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
73	71, 72	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y `' .<_ z <-> z .<_ y )
74		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
75	72, 74	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z `' .<_ x <-> x .<_ z )
76	73, 75	anbi12ci 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) <-> ( x .<_ z /\ z .<_ y ) )
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) <-> ( x .<_ z /\ z .<_ y ) ) )
78	77	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . . . 13 |- { z e. B | ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) } = { z e. B | ( x .<_ z /\ z .<_ y ) }
79	78, 56	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. B | ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) } C_ A )
80	79	ancom2s 844	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> { z e. B | ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) } C_ A )
81	59, 68, 70, 5, 80	ordtrest2NEWlem 29968	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w `' .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
82		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- w e. _V
83	82, 72	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w `' .<_ z <-> z .<_ w )
84	83	bicomi 214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z .<_ w <-> w `' .<_ z )
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( z .<_ w <-> w `' .<_ z ) )
86	85	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( -. z .<_ w <-> -. w `' .<_ z ) )
87	86	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { w e. B | -. z .<_ w } = { w e. B | -. w `' .<_ z } )
88	87	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) = ( z e. B |-> { w e. B | -. w `' .<_ z } ) )
89	88	rneqd 5353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) = ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w `' .<_ z } ) )
90		cnvin 5540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( `' .<_ i^i `' ( A X. A ) )
91		cnvxp 5551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- `' ( A X. A ) = ( A X. A )
92	91	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' .<_ i^i `' ( A X. A ) ) = ( `' .<_ i^i ( A X. A ) )
93	90, 92	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( `' .<_ i^i ( A X. A ) )
94	93	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . 13 |- (ordTop ` `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) )
95	6	ressprs 29655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( K ↾s A ) e. Preset )
96	4, 5, 95	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( K ↾s A ) e. Preset )
97		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` ( K ↾s A ) ) = ( Base ` ( K ↾s A ) )
98		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) = ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) )
99	97, 98	ordtcnvNEW 29966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K ↾s A ) e. Preset -> (ordTop ` `' ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) = (ordTop ` ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) )
100	96, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (ordTop ` `' ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) = (ordTop ` ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) )
101	6, 7	prsss 29962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) )
102	4, 5, 101	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) )
103		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K ↾s A ) = ( K ↾s A )
104	103, 64	ressle 16059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. _V -> ( le ` K ) = ( le ` ( K ↾s A ) ) )
105	19, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( le ` K ) = ( le ` ( K ↾s A ) ) )
106	103, 6	ressbas2 15931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A C_ B -> A = ( Base ` ( K ↾s A ) ) )
107	5, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A = ( Base ` ( K ↾s A ) ) )
108	107	sqxpeqd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A X. A ) = ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) )
109	105, 108	ineq12d 3815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) )
110	102, 109	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) )
111	110	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = `' ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) )
112	111	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (ordTop ` `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` `' ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) )
113	110	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) )
114	100, 112, 113	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (ordTop ` `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
115	94, 114	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
116	115	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
117	89, 116	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w `' .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
118	81, 117	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
119		ralunb 3794	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) /\ A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
120	57, 118, 119	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
121		ralunb 3794	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. v e. { B } ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) /\ A. v e. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
122	55, 120, 121	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
123		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) = ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) )
124	123	fmpt 6381	. . . . . . 7 |- ( A. v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) --> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
125	122, 124	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) --> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
126		frn 6053	. . . . . 6 |- ( ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) --> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) -> ran ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
127	125, 126	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
128	38, 127	eqsstrd 3639	. . . 4 |- ( ph -> ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
129		tgfiss 20795	. . . 4 |- ( ( (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. Top /\ ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
130	31, 128, 129	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
131	25, 130	eqsstrd 3639	. 2 |- ( ph -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
132	9, 131	eqssd 3620	1 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ficfi 8316   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   lecple 15948   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098  ordTopcordt 16159   Preset cpreset 16926   Posetcpo 16940  Tosetctos 17033  ODualcodu 17128   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-ple 15961  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-preset 16928  df-poset 16946  df-toset 17034  df-odu 17129  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750

This theorem is referenced by: (None)