Theorem ordtprsval 29964

Description: Value of the order topology for a preset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtNEW.b	|- B = ( Base ` K )
ordtNEW.l	|- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
ordtposval.e	|- E = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } )
ordtposval.f	|- F = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } )

Assertion

Ref	Expression
ordtprsval	|- ( K e. Preset -> (ordTop ` .<_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( E u. F ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, .<_   x, B, y   x, K, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem ordtprsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtNEW.l	. . . 4 |- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
2		fvex 6201	. . . . 5 |- ( le ` K ) e. _V
3	2	inex1 4799	. . . 4 |- ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2697	. . 3 |- .<_ e. _V
5		eqid 2622	. . . 4 |- dom .<_ = dom .<_
6		eqid 2622	. . . 4 |- ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) = ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } )
7		eqid 2622	. . . 4 |- ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) = ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } )
8	5, 6, 7	ordtval 20993	. . 3 |- ( .<_ e. _V -> (ordTop ` .<_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( { dom .<_ } u. ( ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) ) ) ) ) )
9	4, 8	ax-mp 5	. 2 |- (ordTop ` .<_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( { dom .<_ } u. ( ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) ) ) ) )
10		ordtNEW.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
11	10, 1	prsdm 29960	. . . . . 6 |- ( K e. Preset -> dom .<_ = B )
12	11	sneqd 4189	. . . . 5 |- ( K e. Preset -> { dom .<_ } = { B } )
13		rabeq 3192	. . . . . . . . . 10 |- ( dom .<_ = B -> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } = { y e. B | -. y .<_ x } )
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Preset -> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } = { y e. B | -. y .<_ x } )
15	11, 14	mpteq12dv 4733	. . . . . . . 8 |- ( K e. Preset -> ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) = ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) )
16	15	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( K e. Preset -> ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } ) )
17		ordtposval.e	. . . . . . 7 |- E = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. y .<_ x } )
18	16, 17	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( K e. Preset -> ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) = E )
19		rabeq 3192	. . . . . . . . . 10 |- ( dom .<_ = B -> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } = { y e. B | -. x .<_ y } )
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Preset -> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } = { y e. B | -. x .<_ y } )
21	11, 20	mpteq12dv 4733	. . . . . . . 8 |- ( K e. Preset -> ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) = ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) )
22	21	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( K e. Preset -> ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } ) )
23		ordtposval.f	. . . . . . 7 |- F = ran ( x e. B |-> { y e. B | -. x .<_ y } )
24	22, 23	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( K e. Preset -> ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) = F )
25	18, 24	uneq12d 3768	. . . . 5 |- ( K e. Preset -> ( ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) ) = ( E u. F ) )
26	12, 25	uneq12d 3768	. . . 4 |- ( K e. Preset -> ( { dom .<_ } u. ( ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) ) ) = ( { B } u. ( E u. F ) ) )
27	26	fveq2d 6195	. . 3 |- ( K e. Preset -> ( fi ` ( { dom .<_ } u. ( ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) ) ) ) = ( fi ` ( { B } u. ( E u. F ) ) ) )
28	27	fveq2d 6195	. 2 |- ( K e. Preset -> ( topGen ` ( fi ` ( { dom .<_ } u. ( ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } ) u. ran ( x e. dom .<_ |-> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } ) ) ) ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( E u. F ) ) ) ) )
29	9, 28	syl5eq 2668	1 |- ( K e. Preset -> (ordTop ` .<_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( E u. F ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888   ficfi 8316   Basecbs 15857   lecple 15948   topGenctg 16098  ordTopcordt 16159   Preset cpreset 16926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ordt 16161  df-preset 16928

This theorem is referenced by:  ordtcnvNEW  29966  ordtrest2NEW  29969  ordtconnlem1  29970