Theorem ordtval 20993

Description: Value of the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtval.1	|- X = dom R
ordtval.2	|- A = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
ordtval.3	|- B = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )

Assertion

Ref	Expression
ordtval	|- ( R e. V -> (ordTop ` R ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, X, y   x, V

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   V( y)

Proof of Theorem ordtval

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 |- ( R e. V -> R e. _V )
2		dmeq 5324	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> dom r = dom R )
3		ordtval.1	. . . . . . . 8 |- X = dom R
4	2, 3	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( r = R -> dom r = X )
5	4	sneqd 4189	. . . . . 6 |- ( r = R -> { dom r } = { X } )
6		rnun 5541	. . . . . . 7 |- ran ( ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. y r x } ) u. ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. x r y } ) ) = ( ran ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. y r x } ) u. ran ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. x r y } ) )
7		breq 4655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = R -> ( y r x <-> y R x ) )
8	7	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = R -> ( -. y r x <-> -. y R x ) )
9	4, 8	rabeqbidv 3195	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = R -> { y e. dom r | -. y r x } = { y e. X | -. y R x } )
10	4, 9	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. y r x } ) = ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) )
11	10	rneqd 5353	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ran ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. y r x } ) = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) )
12		ordtval.2	. . . . . . . . 9 |- A = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
13	11, 12	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ran ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. y r x } ) = A )
14		breq 4655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = R -> ( x r y <-> x R y ) )
15	14	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = R -> ( -. x r y <-> -. x R y ) )
16	4, 15	rabeqbidv 3195	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = R -> { y e. dom r | -. x r y } = { y e. X | -. x R y } )
17	4, 16	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. x r y } ) = ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) )
18	17	rneqd 5353	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ran ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. x r y } ) = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) )
19		ordtval.3	. . . . . . . . 9 |- B = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )
20	18, 19	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ran ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. x r y } ) = B )
21	13, 20	uneq12d 3768	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ran ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. y r x } ) u. ran ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. x r y } ) ) = ( A u. B ) )
22	6, 21	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( r = R -> ran ( ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. y r x } ) u. ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. x r y } ) ) = ( A u. B ) )
23	5, 22	uneq12d 3768	. . . . 5 |- ( r = R -> ( { dom r } u. ran ( ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. y r x } ) u. ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. x r y } ) ) ) = ( { X } u. ( A u. B ) ) )
24	23	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( r = R -> ( fi ` ( { dom r } u. ran ( ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. y r x } ) u. ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. x r y } ) ) ) ) = ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
25	24	fveq2d 6195	. . 3 |- ( r = R -> ( topGen ` ( fi ` ( { dom r } u. ran ( ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. y r x } ) u. ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. x r y } ) ) ) ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) ) )
26		df-ordt 16161	. . 3 |- ordTop = ( r e. _V |-> ( topGen ` ( fi ` ( { dom r } u. ran ( ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. y r x } ) u. ( x e. dom r |-> { y e. dom r | -. x r y } ) ) ) ) ) )
27		fvex 6201	. . 3 |- ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) ) e. _V
28	25, 26, 27	fvmpt 6282	. 2 |- ( R e. _V -> (ordTop ` R ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) ) )
29	1, 28	syl 17	1 |- ( R e. V -> (ordTop ` R ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888   ficfi 8316   topGenctg 16098  ordTopcordt 16159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ordt 16161

This theorem is referenced by:  ordttopon  20997  ordtopn1  20998  ordtopn2  20999  ordtcnv  21005  ordtrest  21006  ordtrest2  21008  leordtval2  21016  ordthmeolem  21604  ordtprsval  29964  ordtrestNEW  29967