Theorem orvcoel 30523

Description: If the relation produces open sets, preimage maps by a measurable function are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orvccel.1	|- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
orvccel.2	|- ( ph -> J e. Top )
orvccel.3	|- ( ph -> X e. ( SMblFnM (sigaGen ` J ) ) )
orvccel.4	|- ( ph -> A e. V )
orvcoel.5	|- ( ph -> { y e. U. J | y R A } e. J )

Assertion

Ref	Expression
orvcoel	|- ( ph -> ( X∘RV/𝑐 R A ) e. S )

Distinct variable groups:   y, A   y, R   y, X   y, J

Allowed substitution hints:   ph( y)   S( y)   V( y)

Proof of Theorem orvcoel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orvccel.1	. . 3 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
2		orvccel.2	. . 3 |- ( ph -> J e. Top )
3		orvccel.3	. . 3 |- ( ph -> X e. ( SMblFnM (sigaGen ` J ) ) )
4		orvccel.4	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
5	1, 2, 3, 4	orvcval4 30522	. 2 |- ( ph -> ( X∘RV/𝑐 R A ) = ( `' X " { y e. U. J | y R A } ) )
6	2	sgsiga 30205	. . 3 |- ( ph -> (sigaGen ` J ) e. U. ran sigAlgebra )
7		sssigagen 30208	. . . . 5 |- ( J e. Top -> J C_ (sigaGen ` J ) )
8	2, 7	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> J C_ (sigaGen ` J ) )
9		orvcoel.5	. . . 4 |- ( ph -> { y e. U. J | y R A } e. J )
10	8, 9	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> { y e. U. J | y R A } e. (sigaGen ` J ) )
11	1, 6, 3, 10	mbfmcnvima 30319	. 2 |- ( ph -> ( `' X " { y e. U. J | y R A } ) e. S )
12	5, 11	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( X∘RV/𝑐 R A ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  sigAlgebracsiga 30170  sigaGencsigagen 30201  MblFnMcmbfm 30312  ∘_RV/𝑐corvc 30517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-mbfm 30313  df-orvc 30518

This theorem is referenced by:  orrvcoel  30527