Theorem orrvcoel 30527

Description: If the relation produces open sets, preimage maps of a random variable are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orrvccel.1	|- ( ph -> P e. Prob )
orrvccel.2	|- ( ph -> X e. (rRndVar ` P ) )
orrvccel.4	|- ( ph -> A e. V )
orrvcoel.5	|- ( ph -> { y e. RR | y R A } e. ( topGen ` ran (,) ) )

Assertion

Ref	Expression
orrvcoel	|- ( ph -> ( X∘RV/𝑐 R A ) e. dom P )

Distinct variable groups:   y, A   y, R   y, X

Allowed substitution hints:   ph( y)   P( y)   V( y)

Proof of Theorem orrvcoel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orrvccel.1	. . 3 |- ( ph -> P e. Prob )
2		domprobsiga 30473	. . 3 |- ( P e. Prob -> dom P e. U. ran sigAlgebra )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( ph -> dom P e. U. ran sigAlgebra )
4		retop 22565	. . 3 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
5	4	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
6		orrvccel.2	. . . 4 |- ( ph -> X e. (rRndVar ` P ) )
7	1	rrvmbfm 30504	. . . 4 |- ( ph -> ( X e. (rRndVar ` P ) <-> X e. ( dom PMblFnM𝔅ℝ ) ) )
8	6, 7	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> X e. ( dom PMblFnM𝔅ℝ ) )
9		df-brsiga 30245	. . . 4 |- 𝔅ℝ = (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) )
10	9	oveq2i 6661	. . 3 |- ( dom PMblFnM𝔅ℝ ) = ( dom PMblFnM (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
11	8, 10	syl6eleq 2711	. 2 |- ( ph -> X e. ( dom PMblFnM (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) ) )
12		orrvccel.4	. 2 |- ( ph -> A e. V )
13		uniretop 22566	. . . 4 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
14		rabeq 3192	. . . 4 |- ( RR = U. ( topGen ` ran (,) ) -> { y e. RR | y R A } = { y e. U. ( topGen ` ran (,) ) | y R A } )
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 |- { y e. RR | y R A } = { y e. U. ( topGen ` ran (,) ) | y R A }
16		orrvcoel.5	. . 3 |- ( ph -> { y e. RR | y R A } e. ( topGen ` ran (,) ) )
17	15, 16	syl5eqelr 2706	. 2 |- ( ph -> { y e. U. ( topGen ` ran (,) ) | y R A } e. ( topGen ` ran (,) ) )
18	3, 5, 11, 12, 17	orvcoel 30523	1 |- ( ph -> ( X∘RV/𝑐 R A ) e. dom P )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   Topctop 20698  sigAlgebracsiga 30170  sigaGencsigagen 30201  𝔅_ℝcbrsiga 30244  MblFnMcmbfm 30312  Probcprb 30469  rRndVarcrrv 30502  ∘_RV/𝑐corvc 30517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-esum 30090  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-brsiga 30245  df-meas 30259  df-mbfm 30313  df-prob 30470  df-rrv 30503  df-orvc 30518

This theorem is referenced by: (None)