Theorem paddval 35084

Description: Projective subspace sum operation value. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	|- .<_ = ( le ` K )
paddfval.j	|- .\/ = ( join ` K )
paddfval.a	|- A = ( Atoms ` K )
paddfval.p	|- .+ = ( +P ` K )

Assertion

Ref	Expression
paddval	|- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) )

Distinct variable groups:   A, p   q, p, r, K   X, p, q   Y, p, q, r

Allowed substitution hints:   A( r, q)   B( r, q, p)   .+ ( r, q, p)   .\/ ( r, q, p)   .<_ ( r, q, p)   X( r)

Proof of Theorem paddval

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 251	. 2 |- ( K e. B <-> K e. B )
2		paddfval.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
3		fvex 6201	. . . 4 |- ( Atoms ` K ) e. _V
4	2, 3	eqeltri 2697	. . 3 |- A e. _V
5	4	elpw2 4828	. 2 |- ( X e. ~P A <-> X C_ A )
6	4	elpw2 4828	. 2 |- ( Y e. ~P A <-> Y C_ A )
7		paddfval.l	. . . . . 6 |- .<_ = ( le ` K )
8		paddfval.j	. . . . . 6 |- .\/ = ( join ` K )
9		paddfval.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +P ` K )
10	7, 8, 2, 9	paddfval 35083	. . . . 5 |- ( K e. B -> .+ = ( m e. ~P A , n e. ~P A |-> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) ) )
11	10	oveqd 6667	. . . 4 |- ( K e. B -> ( X .+ Y ) = ( X ( m e. ~P A , n e. ~P A |-> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) ) Y ) )
12	11	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( K e. B /\ X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X .+ Y ) = ( X ( m e. ~P A , n e. ~P A |-> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) ) Y ) )
13		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> X e. ~P A )
14		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> Y e. ~P A )
15		unexg 6959	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X u. Y ) e. _V )
16	4	rabex 4813	. . . . . . 7 |- { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } e. _V
17		unexg 6959	. . . . . . 7 |- ( ( ( X u. Y ) e. _V /\ { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } e. _V ) -> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) e. _V )
18	15, 16, 17	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) e. _V )
19	13, 14, 18	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A /\ ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) e. _V ) )
20	19	3adant1 1079	. . . 4 |- ( ( K e. B /\ X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A /\ ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) e. _V ) )
21		uneq1 3760	. . . . . 6 |- ( m = X -> ( m u. n ) = ( X u. n ) )
22		rexeq 3139	. . . . . . 7 |- ( m = X -> ( E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) <-> E. q e. X E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) ) )
23	22	rabbidv 3189	. . . . . 6 |- ( m = X -> { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } = { p e. A | E. q e. X E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } )
24	21, 23	uneq12d 3768	. . . . 5 |- ( m = X -> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) = ( ( X u. n ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) )
25		uneq2 3761	. . . . . 6 |- ( n = Y -> ( X u. n ) = ( X u. Y ) )
26		rexeq 3139	. . . . . . . 8 |- ( n = Y -> ( E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) <-> E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) ) )
27	26	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( n = Y -> ( E. q e. X E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) <-> E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) ) )
28	27	rabbidv 3189	. . . . . 6 |- ( n = Y -> { p e. A | E. q e. X E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } = { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } )
29	25, 28	uneq12d 3768	. . . . 5 |- ( n = Y -> ( ( X u. n ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) )
30		eqid 2622	. . . . 5 |- ( m e. ~P A , n e. ~P A |-> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) ) = ( m e. ~P A , n e. ~P A |-> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) )
31	24, 29, 30	ovmpt2g 6795	. . . 4 |- ( ( X e. ~P A /\ Y e. ~P A /\ ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) e. _V ) -> ( X ( m e. ~P A , n e. ~P A |-> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) ) Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) )
32	20, 31	syl 17	. . 3 |- ( ( K e. B /\ X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X ( m e. ~P A , n e. ~P A |-> ( ( m u. n ) u. { p e. A | E. q e. m E. r e. n p .<_ ( q .\/ r ) } ) ) Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) )
33	12, 32	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( K e. B /\ X e. ~P A /\ Y e. ~P A ) -> ( X .+ Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) )
34	1, 5, 6, 33	syl3anbr 1370	1 |- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p .<_ ( q .\/ r ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   lecple 15948   joincjn 16944   Atomscatm 34550   +Pcpadd 35081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-padd 35082

This theorem is referenced by:  elpadd  35085  paddunssN  35094  paddcom  35099  paddssat  35100  sspadd1  35101  sspadd2  35102