Theorem paddcom 35099

Description: Projective subspace sum commutes. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	|- A = ( Atoms ` K )
padd0.p	|- .+ = ( +P ` K )

Assertion

Ref	Expression
paddcom	|- ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof of Theorem paddcom

Dummy variables q p r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 3757	. . . 4 |- ( X u. Y ) = ( Y u. X )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X u. Y ) = ( Y u. X ) )
3		simpl1 1064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( q e. X /\ r e. Y ) ) -> K e. Lat )
4		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( q e. X /\ r e. Y ) ) -> X C_ A )
5		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( q e. X /\ r e. Y ) ) -> q e. X )
6	4, 5	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( q e. X /\ r e. Y ) ) -> q e. A )
7		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
8		padd0.a	. . . . . . . . . 10 |- A = ( Atoms ` K )
9	7, 8	atbase 34576	. . . . . . . . 9 |- ( q e. A -> q e. ( Base ` K ) )
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( q e. X /\ r e. Y ) ) -> q e. ( Base ` K ) )
11		simpl3 1066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( q e. X /\ r e. Y ) ) -> Y C_ A )
12		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( q e. X /\ r e. Y ) ) -> r e. Y )
13	11, 12	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( q e. X /\ r e. Y ) ) -> r e. A )
14	7, 8	atbase 34576	. . . . . . . . 9 |- ( r e. A -> r e. ( Base ` K ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( q e. X /\ r e. Y ) ) -> r e. ( Base ` K ) )
16		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
17	7, 16	latjcom 17059	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Lat /\ q e. ( Base ` K ) /\ r e. ( Base ` K ) ) -> ( q ( join ` K ) r ) = ( r ( join ` K ) q ) )
18	3, 10, 15, 17	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( q e. X /\ r e. Y ) ) -> ( q ( join ` K ) r ) = ( r ( join ` K ) q ) )
19	18	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( q e. X /\ r e. Y ) ) -> ( p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) <-> p ( le ` K ) ( r ( join ` K ) q ) ) )
20	19	2rexbidva 3056	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) <-> E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( r ( join ` K ) q ) ) )
21		rexcom 3099	. . . . 5 |- ( E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( r ( join ` K ) q ) <-> E. r e. Y E. q e. X p ( le ` K ) ( r ( join ` K ) q ) )
22	20, 21	syl6bb 276	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) <-> E. r e. Y E. q e. X p ( le ` K ) ( r ( join ` K ) q ) ) )
23	22	rabbidv 3189	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } = { p e. A | E. r e. Y E. q e. X p ( le ` K ) ( r ( join ` K ) q ) } )
24	2, 23	uneq12d 3768	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) = ( ( Y u. X ) u. { p e. A | E. r e. Y E. q e. X p ( le ` K ) ( r ( join ` K ) q ) } ) )
25		eqid 2622	. . 3 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
26		padd0.p	. . 3 |- .+ = ( +P ` K )
27	25, 16, 8, 26	paddval 35084	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) )
28	25, 16, 8, 26	paddval 35084	. . 3 |- ( ( K e. Lat /\ Y C_ A /\ X C_ A ) -> ( Y .+ X ) = ( ( Y u. X ) u. { p e. A | E. r e. Y E. q e. X p ( le ` K ) ( r ( join ` K ) q ) } ) )
29	28	3com23 1271	. 2 |- ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( Y .+ X ) = ( ( Y u. X ) u. { p e. A | E. r e. Y E. q e. X p ( le ` K ) ( r ( join ` K ) q ) } ) )
30	24, 27, 29	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( K e. Lat /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   Latclat 17045   Atomscatm 34550   +Pcpadd 35081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-lub 16974  df-join 16976  df-lat 17046  df-ats 34554  df-padd 35082

This theorem is referenced by:  paddass  35124  padd12N  35125  pmod2iN  35135  pmodN  35136  pmapjat2  35140