Theorem pmtrval 17871

Description: A generated transposition, expressed in a symmetric form. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrfval.t	|- T = (pmTrsp ` D )

Assertion

Ref	Expression
pmtrval	|- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( T ` P ) = ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) )

Distinct variable groups:   z, D   z, T   z, P   z, V

Proof of Theorem pmtrval

Dummy variables p y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrfval.t	. . . . 5 |- T = (pmTrsp ` D )
2	1	pmtrfval 17870	. . . 4 |- ( D e. V -> T = ( p e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } |-> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
3	2	fveq1d 6193	. . 3 |- ( D e. V -> ( T ` P ) = ( ( p e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } |-> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) ` P ) )
4	3	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( T ` P ) = ( ( p e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } |-> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) ` P ) )
5		elpw2g 4827	. . . . . 6 |- ( D e. V -> ( P e. ~P D <-> P C_ D ) )
6	5	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ P C_ D ) -> P e. ~P D )
7	6	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> P e. ~P D )
8		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> P ~~ 2o )
9		breq1 4656	. . . . 5 |- ( y = P -> ( y ~~ 2o <-> P ~~ 2o ) )
10	9	elrab 3363	. . . 4 |- ( P e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } <-> ( P e. ~P D /\ P ~~ 2o ) )
11	7, 8, 10	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> P e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } )
12		mptexg 6484	. . . 4 |- ( D e. V -> ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) e. _V )
13	12	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) e. _V )
14		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( p = P -> ( z e. p <-> z e. P ) )
15		difeq1 3721	. . . . . . 7 |- ( p = P -> ( p \ { z } ) = ( P \ { z } ) )
16	15	unieqd 4446	. . . . . 6 |- ( p = P -> U. ( p \ { z } ) = U. ( P \ { z } ) )
17	14, 16	ifbieq1d 4109	. . . . 5 |- ( p = P -> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) = if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) )
18	17	mpteq2dv 4745	. . . 4 |- ( p = P -> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) = ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) )
19		eqid 2622	. . . 4 |- ( p e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } |-> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } |-> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
20	18, 19	fvmptg 6280	. . 3 |- ( ( P e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } /\ ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) e. _V ) -> ( ( p e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } |-> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) ` P ) = ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) )
21	11, 13, 20	syl2anc 693	. 2 |- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( ( p e. { y e. ~P D | y ~~ 2o } |-> ( z e. D |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) ` P ) = ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) )
22	4, 21	eqtrd 2656	1 |- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( T ` P ) = ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   2oc2o 7554   ~~ cen 7952  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  pmtrfv  17872  pmtrf  17875