Theorem pmtrfv 17872

Description: General value of mapping a point under a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrfval.t	|- T = (pmTrsp ` D )

Assertion

Ref	Expression
pmtrfv	|- ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ Z e. D ) -> ( ( T ` P ) ` Z ) = if ( Z e. P , U. ( P \ { Z } ) , Z ) )

Proof of Theorem pmtrfv

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrfval.t	. . . . 5 |- T = (pmTrsp ` D )
2	1	pmtrval 17871	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( T ` P ) = ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) )
3	2	fveq1d 6193	. . 3 |- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( ( T ` P ) ` Z ) = ( ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) ` Z ) )
4	3	adantr 481	. 2 |- ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ Z e. D ) -> ( ( T ` P ) ` Z ) = ( ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) ` Z ) )
5		simpr 477	. . 3 |- ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ Z e. D ) -> Z e. D )
6		simpl3 1066	. . . . 5 |- ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ Z e. D ) -> P ~~ 2o )
7		relen 7960	. . . . . 6 |- Rel ~~
8	7	brrelexi 5158	. . . . 5 |- ( P ~~ 2o -> P e. _V )
9		difexg 4808	. . . . 5 |- ( P e. _V -> ( P \ { Z } ) e. _V )
10		uniexg 6955	. . . . 5 |- ( ( P \ { Z } ) e. _V -> U. ( P \ { Z } ) e. _V )
11	6, 8, 9, 10	4syl 19	. . . 4 |- ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ Z e. D ) -> U. ( P \ { Z } ) e. _V )
12		ifexg 4157	. . . 4 |- ( ( U. ( P \ { Z } ) e. _V /\ Z e. D ) -> if ( Z e. P , U. ( P \ { Z } ) , Z ) e. _V )
13	11, 5, 12	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ Z e. D ) -> if ( Z e. P , U. ( P \ { Z } ) , Z ) e. _V )
14		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( z = Z -> ( z e. P <-> Z e. P ) )
15		sneq 4187	. . . . . . 7 |- ( z = Z -> { z } = { Z } )
16	15	difeq2d 3728	. . . . . 6 |- ( z = Z -> ( P \ { z } ) = ( P \ { Z } ) )
17	16	unieqd 4446	. . . . 5 |- ( z = Z -> U. ( P \ { z } ) = U. ( P \ { Z } ) )
18		id 22	. . . . 5 |- ( z = Z -> z = Z )
19	14, 17, 18	ifbieq12d 4113	. . . 4 |- ( z = Z -> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) = if ( Z e. P , U. ( P \ { Z } ) , Z ) )
20		eqid 2622	. . . 4 |- ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) = ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) )
21	19, 20	fvmptg 6280	. . 3 |- ( ( Z e. D /\ if ( Z e. P , U. ( P \ { Z } ) , Z ) e. _V ) -> ( ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) ` Z ) = if ( Z e. P , U. ( P \ { Z } ) , Z ) )
22	5, 13, 21	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ Z e. D ) -> ( ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) ` Z ) = if ( Z e. P , U. ( P \ { Z } ) , Z ) )
23	4, 22	eqtrd 2656	1 |- ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ Z e. D ) -> ( ( T ` P ) ` Z ) = if ( Z e. P , U. ( P \ { Z } ) , Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   2oc2o 7554   ~~ cen 7952  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-en 7956  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  pmtrprfv  17873  pmtrprfv3  17874  pmtrmvd  17876  pmtrffv  17879