Theorem pmtrf 17875

Description: Functionality of a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrfval.t	|- T = (pmTrsp ` D )

Assertion

Ref	Expression
pmtrf	|- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( T ` P ) : D --> D )

Proof of Theorem pmtrf

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll2 1101	. . . . 5 |- ( ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ z e. D ) /\ z e. P ) -> P C_ D )
2		1onn 7719	. . . . . . . 8 |- 1o e. om
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ z e. D ) /\ z e. P ) -> 1o e. om )
4		simpll3 1102	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ z e. D ) /\ z e. P ) -> P ~~ 2o )
5		df-2o 7561	. . . . . . . 8 |- 2o = suc 1o
6	4, 5	syl6breq 4694	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ z e. D ) /\ z e. P ) -> P ~~ suc 1o )
7		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ z e. D ) /\ z e. P ) -> z e. P )
8		dif1en 8193	. . . . . . 7 |- ( ( 1o e. om /\ P ~~ suc 1o /\ z e. P ) -> ( P \ { z } ) ~~ 1o )
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ z e. D ) /\ z e. P ) -> ( P \ { z } ) ~~ 1o )
10		en1uniel 8028	. . . . . 6 |- ( ( P \ { z } ) ~~ 1o -> U. ( P \ { z } ) e. ( P \ { z } ) )
11		eldifi 3732	. . . . . 6 |- ( U. ( P \ { z } ) e. ( P \ { z } ) -> U. ( P \ { z } ) e. P )
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ z e. D ) /\ z e. P ) -> U. ( P \ { z } ) e. P )
13	1, 12	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ z e. D ) /\ z e. P ) -> U. ( P \ { z } ) e. D )
14		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ z e. D ) /\ -. z e. P ) -> z e. D )
15	13, 14	ifclda 4120	. . 3 |- ( ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) /\ z e. D ) -> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) e. D )
16		eqid 2622	. . 3 |- ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) = ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) )
17	15, 16	fmptd 6385	. 2 |- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) : D --> D )
18		pmtrfval.t	. . . 4 |- T = (pmTrsp ` D )
19	18	pmtrval 17871	. . 3 |- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( T ` P ) = ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) )
20	19	feq1d 6030	. 2 |- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( ( T ` P ) : D --> D <-> ( z e. D |-> if ( z e. P , U. ( P \ { z } ) , z ) ) : D --> D ) )
21	17, 20	mpbird 247	1 |- ( ( D e. V /\ P C_ D /\ P ~~ 2o ) -> ( T ` P ) : D --> D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   suc csuc 5725   -->wf 5884   ` cfv 5888   omcom 7065   1oc1o 7553   2oc2o 7554   ~~ cen 7952  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  pmtrmvd  17876  pmtrfinv  17881  pmtrff1o  17883  pmtrfcnv  17884  pmtr3ncomlem1  17893  mdetralt  20414  mdetunilem7  20424