Theorem pptbas 20812

Description: The particular point topology is generated by a basis consisting of pairs { x , P } for each x e. A. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pptbas	|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } = ( topGen ` ran ( x e. A |-> { x , P } ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, P   x, V

Proof of Theorem pptbas

Dummy variables w v y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppttop 20811	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } e. (TopOn ` A ) )
2		topontop 20718	. . . 4 |- ( { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } e. (TopOn ` A ) -> { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } e. Top )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } e. Top )
4		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ x e. A ) -> x e. A )
5		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ x e. A ) -> P e. A )
6		prssi 4353	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ P e. A ) -> { x , P } C_ A )
7	4, 5, 6	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ x e. A ) -> { x , P } C_ A )
8		prex 4909	. . . . . . . 8 |- { x , P } e. _V
9	8	elpw 4164	. . . . . . 7 |- ( { x , P } e. ~P A <-> { x , P } C_ A )
10	7, 9	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ x e. A ) -> { x , P } e. ~P A )
11		prid2g 4296	. . . . . . . 8 |- ( P e. A -> P e. { x , P } )
12	11	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ x e. A ) -> P e. { x , P } )
13	12	orcd 407	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ x e. A ) -> ( P e. { x , P } \/ { x , P } = (/) ) )
14		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( y = { x , P } -> ( P e. y <-> P e. { x , P } ) )
15		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( y = { x , P } -> ( y = (/) <-> { x , P } = (/) ) )
16	14, 15	orbi12d 746	. . . . . . 7 |- ( y = { x , P } -> ( ( P e. y \/ y = (/) ) <-> ( P e. { x , P } \/ { x , P } = (/) ) ) )
17	16	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( { x , P } e. { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } <-> ( { x , P } e. ~P A /\ ( P e. { x , P } \/ { x , P } = (/) ) ) )
18	10, 13, 17	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ x e. A ) -> { x , P } e. { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } )
19		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. A |-> { x , P } ) = ( x e. A |-> { x , P } )
20	18, 19	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( x e. A |-> { x , P } ) : A --> { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } )
21		frn 6053	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> { x , P } ) : A --> { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } -> ran ( x e. A |-> { x , P } ) C_ { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } )
22	20, 21	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ran ( x e. A |-> { x , P } ) C_ { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } )
23		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( P e. y <-> P e. z ) )
24		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( y = (/) <-> z = (/) ) )
25	23, 24	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( ( P e. y \/ y = (/) ) <-> ( P e. z \/ z = (/) ) ) )
26	25	elrab 3363	. . . . 5 |- ( z e. { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } <-> ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) )
27		elpwi 4168	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ~P A -> z C_ A )
28	27	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) -> z C_ A )
29	28	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) /\ w e. z ) -> w e. A )
30		prid1g 4295	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. z -> w e. { w , P } )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) /\ w e. z ) -> w e. { w , P } )
32		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) /\ w e. z ) -> w e. z )
33		n0i 3920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. z -> -. z = (/) )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) /\ w e. z ) -> -. z = (/) )
35		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) /\ w e. z ) -> ( P e. z \/ z = (/) ) )
36	35	ord 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) /\ w e. z ) -> ( -. P e. z -> z = (/) ) )
37	34, 36	mt3d 140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) /\ w e. z ) -> P e. z )
38		prssi 4353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. z /\ P e. z ) -> { w , P } C_ z )
39	32, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) /\ w e. z ) -> { w , P } C_ z )
40		preq1 4268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> { x , P } = { w , P } )
41	40	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( w e. { x , P } <-> w e. { w , P } ) )
42	40	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( { x , P } C_ z <-> { w , P } C_ z ) )
43	41, 42	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( ( w e. { x , P } /\ { x , P } C_ z ) <-> ( w e. { w , P } /\ { w , P } C_ z ) ) )
44	43	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. A /\ ( w e. { w , P } /\ { w , P } C_ z ) ) -> E. x e. A ( w e. { x , P } /\ { x , P } C_ z ) )
45	29, 31, 39, 44	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) /\ w e. z ) -> E. x e. A ( w e. { x , P } /\ { x , P } C_ z ) )
46	8	rgenw 2924	. . . . . . . . 9 |- A. x e. A { x , P } e. _V
47		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = { x , P } -> ( w e. v <-> w e. { x , P } ) )
48		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = { x , P } -> ( v C_ z <-> { x , P } C_ z ) )
49	47, 48	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( v = { x , P } -> ( ( w e. v /\ v C_ z ) <-> ( w e. { x , P } /\ { x , P } C_ z ) ) )
50	19, 49	rexrnmpt 6369	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A { x , P } e. _V -> ( E. v e. ran ( x e. A |-> { x , P } ) ( w e. v /\ v C_ z ) <-> E. x e. A ( w e. { x , P } /\ { x , P } C_ z ) ) )
51	46, 50	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( E. v e. ran ( x e. A |-> { x , P } ) ( w e. v /\ v C_ z ) <-> E. x e. A ( w e. { x , P } /\ { x , P } C_ z ) )
52	45, 51	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) /\ w e. z ) -> E. v e. ran ( x e. A |-> { x , P } ) ( w e. v /\ v C_ z ) )
53	52	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) ) -> A. w e. z E. v e. ran ( x e. A |-> { x , P } ) ( w e. v /\ v C_ z ) )
54	53	ex 450	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( ( z e. ~P A /\ ( P e. z \/ z = (/) ) ) -> A. w e. z E. v e. ran ( x e. A |-> { x , P } ) ( w e. v /\ v C_ z ) ) )
55	26, 54	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( z e. { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } -> A. w e. z E. v e. ran ( x e. A |-> { x , P } ) ( w e. v /\ v C_ z ) ) )
56	55	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A. z e. { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } A. w e. z E. v e. ran ( x e. A |-> { x , P } ) ( w e. v /\ v C_ z ) )
57		basgen2 20793	. . 3 |- ( ( { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } e. Top /\ ran ( x e. A |-> { x , P } ) C_ { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } /\ A. z e. { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } A. w e. z E. v e. ran ( x e. A |-> { x , P } ) ( w e. v /\ v C_ z ) ) -> ( topGen ` ran ( x e. A |-> { x , P } ) ) = { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } )
58	3, 22, 56, 57	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( topGen ` ran ( x e. A |-> { x , P } ) ) = { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } )
59		eleq2 2690	. . . 4 |- ( y = x -> ( P e. y <-> P e. x ) )
60		eqeq1 2626	. . . 4 |- ( y = x -> ( y = (/) <-> x = (/) ) )
61	59, 60	orbi12d 746	. . 3 |- ( y = x -> ( ( P e. y \/ y = (/) ) <-> ( P e. x \/ x = (/) ) ) )
62	61	cbvrabv 3199	. 2 |- { y e. ~P A | ( P e. y \/ y = (/) ) } = { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) }
63	58, 62	syl6req 2673	1 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> { x e. ~P A | ( P e. x \/ x = (/) ) } = ( topGen ` ran ( x e. A |-> { x , P } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888   topGenctg 16098   Topctop 20698  TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716

This theorem is referenced by: (None)