Theorem rexrnmpt 6369

Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralrnmpt.1	|- F = ( x e. A |-> B )
ralrnmpt.2	|- ( y = B -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rexrnmpt	|- ( A. x e. A B e. V -> ( E. y e. ran F ps <-> E. x e. A ch ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, B   ch, y   y, F   ps, x

Allowed substitution hints:   ps( y)   ch( x)   A( y)   B( x)   F( x)   V( x, y)

Proof of Theorem rexrnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralrnmpt.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> B )
2		ralrnmpt.2	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ps <-> ch ) )
3	2	notbid 308	. . . 4 |- ( y = B -> ( -. ps <-> -. ch ) )
4	1, 3	ralrnmpt 6368	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> ( A. y e. ran F -. ps <-> A. x e. A -. ch ) )
5	4	notbid 308	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( -. A. y e. ran F -. ps <-> -. A. x e. A -. ch ) )
6		dfrex2 2996	. 2 |- ( E. y e. ran F ps <-> -. A. y e. ran F -. ps )
7		dfrex2 2996	. 2 |- ( E. x e. A ch <-> -. A. x e. A -. ch )
8	5, 6, 7	3bitr4g 303	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( E. y e. ran F ps <-> E. x e. A ch ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   |-> cmpt 4729   ran crn 5115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  onoviun  7440  onnseq  7441  ghmcyg  18297  pgpfac1lem2  18474  pgpfac1lem3  18476  pgpfac1lem4  18477  pptbas  20812  lly1stc  21299  txbas  21370  eltsms  21936  tsmsf1o  21948  psmetutop  22372  xrge0tsms  22637  fmcfil  23070  ellimc2  23641  limcflf  23645  xrge0tsmsd  29785  poimirlem23  33432  poimirlem24  33433  poimirlem30  33439  cntotbnd  33595