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Theorem ppttop 20811

Description: The particular point topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
ppttop	$/\$ $\/$ TopOn

Distinct variable groups:

Proof of Theorem ppttop Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab 3680	. . . . 5 $\/$ $/\$ $\/$
2		simprl 794	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
3		sspwuni 4611	. . . . . . . . 9
4	2, 3	sylib 208	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
5		vuniex 6954	. . . . . . . . 9
6	5	elpw 4164	. . . . . . . 8
7	4, 6	sylibr 224	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
8		neq0 3930	. . . . . . . . . 10
9		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . 12
10		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
11		n0i 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\/$ $/\$
13		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\/$ $/\$ $\/$
14	13	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\/$ $/\$
15	12, 14	mt3d 140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\/$ $/\$
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\/$ $/\$
17		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\/$ $/\$
18		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
19	16, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\/$ $/\$
20	19	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$ $/\$
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$
22	21	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$
23	22	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
24	9, 23	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
25	24	exlimdv 1861	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
26	8, 25	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
27	26	con1d 139	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
28	27	orrd 393	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
29		eleq2 2690	. . . . . . . . 9
30		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9
31	29, 30	orbi12d 746	. . . . . . . 8 $\/$ $\/$
32	31	elrab 3363	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $\/$
33	7, 28, 32	sylanbrc 698	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
34	33	ex 450	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
35	1, 34	syl5bi 232	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$
36	35	alrimiv 1855	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$
37		eleq2 2690	. . . . . . . 8
38		eqeq1 2626	. . . . . . . 8
39	37, 38	orbi12d 746	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
40	39	elrab 3363	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $\/$
41		eleq2 2690	. . . . . . . 8
42		eqeq1 2626	. . . . . . . 8
43	41, 42	orbi12d 746	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
44	43	elrab 3363	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $\/$
45	40, 44	anbi12i 733	. . . . 5 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
46		inss1 3833	. . . . . . . . 9
47		simprll 802	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
48	47	elpwid 4170	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
49	46, 48	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
50		vex 3203	. . . . . . . . . 10
51	50	inex1 4799	. . . . . . . . 9
52	51	elpw 4164	. . . . . . . 8
53	49, 52	sylibr 224	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
54		ianor 509	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
55		elin 3796	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56	54, 55	xchnxbir 323	. . . . . . . . . 10 $\/$
57		simprlr 803	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
58	57	ord 392	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
59		simprrr 805	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
60	59	ord 392	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
61	58, 60	orim12d 883	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
62	56, 61	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
63		inss 3842	. . . . . . . . . 10 $\/$
64		ss0b 3973	. . . . . . . . . . 11
65		ss0b 3973	. . . . . . . . . . 11
66	64, 65	orbi12i 543	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
67		ss0b 3973	. . . . . . . . . 10
68	63, 66, 67	3imtr3i 280	. . . . . . . . 9 $\/$
69	62, 68	syl6 35	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
70	69	orrd 393	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
71		eleq2 2690	. . . . . . . . 9
72		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9
73	71, 72	orbi12d 746	. . . . . . . 8 $\/$ $\/$
74	73	elrab 3363	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $\/$
75	53, 70, 74	sylanbrc 698	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
76	75	ex 450	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
77	45, 76	syl5bi 232	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
78	77	ralrimivv 2970	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
79		pwexg 4850	. . . . . 6
80	79	adantr 481	. . . . 5 $/\$
81		rabexg 4812	. . . . 5 $\/$
82	80, 81	syl 17	. . . 4 $/\$ $\/$
83		istopg 20700	. . . 4 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
84	82, 83	syl 17	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
85	36, 78, 84	mpbir2and 957	. 2 $/\$ $\/$
86		pwidg 4173	. . . . . 6
87	86	adantr 481	. . . . 5 $/\$
88		simpr 477	. . . . . 6 $/\$
89	88	orcd 407	. . . . 5 $/\$ $\/$
90		eleq2 2690	. . . . . . 7
91		eqeq1 2626	. . . . . . 7
92	90, 91	orbi12d 746	. . . . . 6 $\/$ $\/$
93	92	elrab 3363	. . . . 5 $\/$ $/\$ $\/$
94	87, 89, 93	sylanbrc 698	. . . 4 $/\$ $\/$
95		elssuni 4467	. . . 4 $\/$ $\/$
96	94, 95	syl 17	. . 3 $/\$ $\/$
97		ssrab2 3687	. . . . 5 $\/$
98		sspwuni 4611	. . . . 5 $\/$ $\/$
99	97, 98	mpbi 220	. . . 4 $\/$
100	99	a1i 11	. . 3 $/\$ $\/$
101	96, 100	eqssd 3620	. 2 $/\$ $\/$
102		istopon 20717	. 2 $\/$ TopOn $\/$ $/\$ $\/$
103	85, 101, 102	sylanbrc 698	1 $/\$ $\/$ TopOn

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wal 1481

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

cuni 4436

cfv 5888

ctop 20698 TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fv 5896 df-top 20699 df-topon 20716

This theorem is referenced by: pptbas 20812

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