Theorem pw2f1olem 8064

Description: Lemma for pw2f1o 8065. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2f1o.1	|- ( ph -> A e. V )
pw2f1o.2	|- ( ph -> B e. W )
pw2f1o.3	|- ( ph -> C e. W )
pw2f1o.4	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
pw2f1olem	|- ( ph -> ( ( S e. ~P A /\ G = ( z e. A |-> if ( z e. S , C , B ) ) ) <-> ( G e. ( { B , C } ^m A ) /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, B   z, C   z, S

Allowed substitution hints:   ph( z)   G( z)   V( z)   W( z)

Proof of Theorem pw2f1olem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2f1o.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. W )
2		prid2g 4296	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. W -> C e. { B , C } )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. { B , C } )
4		pw2f1o.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. W )
5		prid1g 4295	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. W -> B e. { B , C } )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. { B , C } )
7	3, 6	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( y e. S , C , B ) e. { B , C } )
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> if ( y e. S , C , B ) e. { B , C } )
9		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) )
10	8, 9	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) : A --> { B , C } )
11	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) : A --> { B , C } )
12		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) )
13	12	feq1d 6030	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( G : A --> { B , C } <-> ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) : A --> { B , C } ) )
14	11, 13	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> G : A --> { B , C } )
15		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> if ( x e. S , C , B ) = C )
16		pw2f1o.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B =/= C )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> B =/= C )
18		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. S -> if ( x e. S , C , B ) = B )
19	18	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. S -> ( if ( x e. S , C , B ) =/= C <-> B =/= C ) )
20	17, 19	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( -. x e. S -> if ( x e. S , C , B ) =/= C ) )
21	20	necon4bd 2814	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( if ( x e. S , C , B ) = C -> x e. S ) )
22	15, 21	impbid2 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. S <-> if ( x e. S , C , B ) = C ) )
23		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) )
24	23	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = ( ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ` x ) )
25		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> x e. A )
26	3, 6	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( x e. S , C , B ) e. { B , C } )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> if ( x e. S , C , B ) e. { B , C } )
28		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( y e. S <-> x e. S ) )
29	28	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> if ( y e. S , C , B ) = if ( x e. S , C , B ) )
30	29, 9	fvmptg 6280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ if ( x e. S , C , B ) e. { B , C } ) -> ( ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ` x ) = if ( x e. S , C , B ) )
31	25, 27, 30	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ` x ) = if ( x e. S , C , B ) )
32	24, 31	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = if ( x e. S , C , B ) )
33	32	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) = C <-> if ( x e. S , C , B ) = C ) )
34	22, 33	bitr4d 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. S <-> ( G ` x ) = C ) )
35	34	pm5.32da 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( ( x e. A /\ x e. S ) <-> ( x e. A /\ ( G ` x ) = C ) ) )
36		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> S C_ A )
37	36	sseld 3602	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( x e. S -> x e. A ) )
38	37	pm4.71rd 667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( x e. S <-> ( x e. A /\ x e. S ) ) )
39		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( G : A --> { B , C } -> G Fn A )
40	14, 39	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> G Fn A )
41		fniniseg 6338	. . . . . . 7 |- ( G Fn A -> ( x e. ( `' G " { C } ) <-> ( x e. A /\ ( G ` x ) = C ) ) )
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( x e. ( `' G " { C } ) <-> ( x e. A /\ ( G ` x ) = C ) ) )
43	35, 38, 42	3bitr4d 300	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( x e. S <-> x e. ( `' G " { C } ) ) )
44	43	eqrdv 2620	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> S = ( `' G " { C } ) )
45	14, 44	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) )
46		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> S = ( `' G " { C } ) )
47		cnvimass 5485	. . . . . 6 |- ( `' G " { C } ) C_ dom G
48		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( G : A --> { B , C } -> dom G = A )
49	48	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> dom G = A )
50	47, 49	syl5sseq 3653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> ( `' G " { C } ) C_ A )
51	46, 50	eqsstrd 3639	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> S C_ A )
52	39	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> G Fn A )
53		dffn5 6241	. . . . . 6 |- ( G Fn A <-> G = ( y e. A |-> ( G ` y ) ) )
54	52, 53	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> G = ( y e. A |-> ( G ` y ) ) )
55		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> S = ( `' G " { C } ) )
56	55	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( y e. S <-> y e. ( `' G " { C } ) ) )
57		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G Fn A -> ( y e. ( `' G " { C } ) <-> ( y e. A /\ ( G ` y ) = C ) ) )
58	52, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> ( y e. ( `' G " { C } ) <-> ( y e. A /\ ( G ` y ) = C ) ) )
59	58	baibd 948	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( y e. ( `' G " { C } ) <-> ( G ` y ) = C ) )
60	56, 59	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( y e. S <-> ( G ` y ) = C ) )
61	60	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) /\ y e. S ) -> ( G ` y ) = C )
62		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( y e. S -> if ( y e. S , C , B ) = C )
63	62	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) /\ y e. S ) -> if ( y e. S , C , B ) = C )
64	61, 63	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) /\ y e. S ) -> ( G ` y ) = if ( y e. S , C , B ) )
65		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> G : A --> { B , C } )
66	65	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( G ` y ) e. { B , C } )
67		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G ` y ) e. _V
68	67	elpr 4198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` y ) e. { B , C } <-> ( ( G ` y ) = B \/ ( G ` y ) = C ) )
69	66, 68	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( ( G ` y ) = B \/ ( G ` y ) = C ) )
70	69	ord 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( -. ( G ` y ) = B -> ( G ` y ) = C ) )
71	70, 60	sylibrd 249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( -. ( G ` y ) = B -> y e. S ) )
72	71	con1d 139	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( -. y e. S -> ( G ` y ) = B ) )
73	72	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) /\ -. y e. S ) -> ( G ` y ) = B )
74		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. y e. S -> if ( y e. S , C , B ) = B )
75	74	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) /\ -. y e. S ) -> if ( y e. S , C , B ) = B )
76	73, 75	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) /\ -. y e. S ) -> ( G ` y ) = if ( y e. S , C , B ) )
77	64, 76	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( G ` y ) = if ( y e. S , C , B ) )
78	77	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> ( y e. A |-> ( G ` y ) ) = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) )
79	54, 78	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) )
80	51, 79	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) )
81	45, 80	impbida 877	. 2 |- ( ph -> ( ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) <-> ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) )
82		pw2f1o.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
83		elpw2g 4827	. . . 4 |- ( A e. V -> ( S e. ~P A <-> S C_ A ) )
84	82, 83	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( S e. ~P A <-> S C_ A ) )
85		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( z e. S <-> y e. S ) )
86	85	ifbid 4108	. . . . . 6 |- ( z = y -> if ( z e. S , C , B ) = if ( y e. S , C , B ) )
87	86	cbvmptv 4750	. . . . 5 |- ( z e. A |-> if ( z e. S , C , B ) ) = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) )
88	87	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. A |-> if ( z e. S , C , B ) ) = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) )
89	88	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( ph -> ( G = ( z e. A |-> if ( z e. S , C , B ) ) <-> G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) )
90	84, 89	anbi12d 747	. 2 |- ( ph -> ( ( S e. ~P A /\ G = ( z e. A |-> if ( z e. S , C , B ) ) ) <-> ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) )
91		prex 4909	. . . 4 |- { B , C } e. _V
92		elmapg 7870	. . . 4 |- ( ( { B , C } e. _V /\ A e. V ) -> ( G e. ( { B , C } ^m A ) <-> G : A --> { B , C } ) )
93	91, 82, 92	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( G e. ( { B , C } ^m A ) <-> G : A --> { B , C } ) )
94	93	anbi1d 741	. 2 |- ( ph -> ( ( G e. ( { B , C } ^m A ) /\ S = ( `' G " { C } ) ) <-> ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) )
95	81, 90, 94	3bitr4d 300	1 |- ( ph -> ( ( S e. ~P A /\ G = ( z e. A |-> if ( z e. S , C , B ) ) ) <-> ( G e. ( { B , C } ^m A ) /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859

This theorem is referenced by:  pw2f1o  8065  sqff1o  24908