Theorem omf1o 8063

Description: Construct an explicit bijection from A .o B to B .o A. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
omf1o.1	|- F = ( x e. B , y e. A |-> ( ( A .o x ) +o y ) )
omf1o.2	|- G = ( x e. B , y e. A |-> ( ( B .o y ) +o x ) )

Assertion

Ref	Expression
omf1o	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( G o. `' F ) : ( A .o B ) -1-1-onto-> ( B .o A ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)   G( x, y)

Proof of Theorem omf1o

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( y e. A , x e. B |-> ( ( B .o y ) +o x ) ) = ( y e. A , x e. B |-> ( ( B .o y ) +o x ) )
2	1	omxpenlem 8061	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ A e. On ) -> ( y e. A , x e. B |-> ( ( B .o y ) +o x ) ) : ( A X. B ) -1-1-onto-> ( B .o A ) )
3	2	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( y e. A , x e. B |-> ( ( B .o y ) +o x ) ) : ( A X. B ) -1-1-onto-> ( B .o A ) )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( z e. ( B X. A ) |-> U. `' { z } ) = ( z e. ( B X. A ) |-> U. `' { z } )
5	4	xpcomf1o 8049	. . . 4 |- ( z e. ( B X. A ) |-> U. `' { z } ) : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( A X. B )
6		f1oco 6159	. . . 4 |- ( ( ( y e. A , x e. B |-> ( ( B .o y ) +o x ) ) : ( A X. B ) -1-1-onto-> ( B .o A ) /\ ( z e. ( B X. A ) |-> U. `' { z } ) : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( A X. B ) ) -> ( ( y e. A , x e. B |-> ( ( B .o y ) +o x ) ) o. ( z e. ( B X. A ) |-> U. `' { z } ) ) : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( B .o A ) )
7	3, 5, 6	sylancl 694	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( y e. A , x e. B |-> ( ( B .o y ) +o x ) ) o. ( z e. ( B X. A ) |-> U. `' { z } ) ) : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( B .o A ) )
8		omf1o.2	. . . . 5 |- G = ( x e. B , y e. A |-> ( ( B .o y ) +o x ) )
9	4, 1	xpcomco 8050	. . . . 5 |- ( ( y e. A , x e. B |-> ( ( B .o y ) +o x ) ) o. ( z e. ( B X. A ) |-> U. `' { z } ) ) = ( x e. B , y e. A |-> ( ( B .o y ) +o x ) )
10	8, 9	eqtr4i 2647	. . . 4 |- G = ( ( y e. A , x e. B |-> ( ( B .o y ) +o x ) ) o. ( z e. ( B X. A ) |-> U. `' { z } ) )
11		f1oeq1 6127	. . . 4 |- ( G = ( ( y e. A , x e. B |-> ( ( B .o y ) +o x ) ) o. ( z e. ( B X. A ) |-> U. `' { z } ) ) -> ( G : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( B .o A ) <-> ( ( y e. A , x e. B |-> ( ( B .o y ) +o x ) ) o. ( z e. ( B X. A ) |-> U. `' { z } ) ) : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( B .o A ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- ( G : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( B .o A ) <-> ( ( y e. A , x e. B |-> ( ( B .o y ) +o x ) ) o. ( z e. ( B X. A ) |-> U. `' { z } ) ) : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( B .o A ) )
13	7, 12	sylibr 224	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> G : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( B .o A ) )
14		omf1o.1	. . . 4 |- F = ( x e. B , y e. A |-> ( ( A .o x ) +o y ) )
15	14	omxpenlem 8061	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> F : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( A .o B ) )
16		f1ocnv 6149	. . 3 |- ( F : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( A .o B ) -> `' F : ( A .o B ) -1-1-onto-> ( B X. A ) )
17	15, 16	syl 17	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> `' F : ( A .o B ) -1-1-onto-> ( B X. A ) )
18		f1oco 6159	. 2 |- ( ( G : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( B .o A ) /\ `' F : ( A .o B ) -1-1-onto-> ( B X. A ) ) -> ( G o. `' F ) : ( A .o B ) -1-1-onto-> ( B .o A ) )
19	13, 17, 18	syl2anc 693	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( G o. `' F ) : ( A .o B ) -1-1-onto-> ( B .o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   o. ccom 5118   Oncon0 5723   -1-1-onto->wf1o 5887  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   +o coa 7557   .o comu 7558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565

This theorem is referenced by:  cnfcom3  8601  infxpenc  8841