Theorem ressuppssdif 7316

Description: The support of the restriction of a function is a subset of the support of the function itself. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ressuppssdif	|- ( ( F e. V /\ Z e. W ) -> ( F supp Z ) C_ ( ( ( F |` B ) supp Z ) u. ( dom F \ B ) ) )

Proof of Theorem ressuppssdif

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3584	. . . . . 6 |- ( x e. ( { z e. dom F | ( F " { z } ) =/= { Z } } \ { z e. dom ( F |` B ) | ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } } ) <-> ( x e. { z e. dom F | ( F " { z } ) =/= { Z } } /\ -. x e. { z e. dom ( F |` B ) | ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } } ) )
2		sneq 4187	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> { z } = { x } )
3	2	imaeq2d 5466	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( F " { z } ) = ( F " { x } ) )
4	3	neeq1d 2853	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( ( F " { z } ) =/= { Z } <-> ( F " { x } ) =/= { Z } ) )
5	4	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. dom F | ( F " { z } ) =/= { Z } } <-> ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) )
6		ianor 509	. . . . . . . 8 |- ( -. ( x e. dom ( F |` B ) /\ ( ( F |` B ) " { x } ) =/= { Z } ) <-> ( -. x e. dom ( F |` B ) \/ -. ( ( F |` B ) " { x } ) =/= { Z } ) )
7	2	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( ( F |` B ) " { z } ) = ( ( F |` B ) " { x } ) )
8	7	neeq1d 2853	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } <-> ( ( F |` B ) " { x } ) =/= { Z } ) )
9	8	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( x e. { z e. dom ( F |` B ) | ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } } <-> ( x e. dom ( F |` B ) /\ ( ( F |` B ) " { x } ) =/= { Z } ) )
10	6, 9	xchnxbir 323	. . . . . . 7 |- ( -. x e. { z e. dom ( F |` B ) | ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } } <-> ( -. x e. dom ( F |` B ) \/ -. ( ( F |` B ) " { x } ) =/= { Z } ) )
11		ianor 509	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. B /\ x e. dom F ) <-> ( -. x e. B \/ -. x e. dom F ) )
12		dmres 5419	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( F |` B ) = ( B i^i dom F )
13	12	elin2 3801	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. dom ( F |` B ) <-> ( x e. B /\ x e. dom F ) )
14	11, 13	xchnxbir 323	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. dom ( F |` B ) <-> ( -. x e. B \/ -. x e. dom F ) )
15		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) -> x e. dom F )
16	15	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. x e. B /\ ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) ) -> ( -. x e. B /\ x e. dom F ) )
17	16	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. x e. B /\ ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) ) -> ( x e. dom F /\ -. x e. B ) )
18		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( dom F \ B ) <-> ( x e. dom F /\ -. x e. B ) )
19	17, 18	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. x e. B /\ ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) ) -> x e. ( dom F \ B ) )
20	19	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. B -> ( ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) -> x e. ( dom F \ B ) ) )
21		pm2.24 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. dom F -> ( -. x e. dom F -> x e. ( dom F \ B ) ) )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) -> ( -. x e. dom F -> x e. ( dom F \ B ) ) )
23	22	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. dom F -> ( ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) -> x e. ( dom F \ B ) ) )
24	20, 23	jaoi 394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. x e. B \/ -. x e. dom F ) -> ( ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) -> x e. ( dom F \ B ) ) )
25	14, 24	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. dom ( F |` B ) -> ( ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) -> x e. ( dom F \ B ) ) )
26	15	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. ( ( F |` B ) " { x } ) =/= { Z } /\ ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) ) -> x e. dom F )
27		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. B -> { x } C_ B )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. dom F /\ x e. B ) -> { x } C_ B )
29		resima2 5432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { x } C_ B -> ( ( F |` B ) " { x } ) = ( F " { x } ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. dom F /\ x e. B ) -> ( ( F |` B ) " { x } ) = ( F " { x } ) )
31	30	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. dom F /\ x e. B ) -> ( F " { x } ) = ( ( F |` B ) " { x } ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. dom F /\ x e. B ) /\ ( ( F |` B ) " { x } ) = { Z } ) -> ( F " { x } ) = ( ( F |` B ) " { x } ) )
33		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. dom F /\ x e. B ) /\ ( ( F |` B ) " { x } ) = { Z } ) -> ( ( F |` B ) " { x } ) = { Z } )
34	32, 33	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. dom F /\ x e. B ) /\ ( ( F |` B ) " { x } ) = { Z } ) -> ( F " { x } ) = { Z } )
35	34	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. dom F /\ x e. B ) -> ( ( ( F |` B ) " { x } ) = { Z } -> ( F " { x } ) = { Z } ) )
36	35	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. dom F /\ x e. B ) -> ( ( F " { x } ) =/= { Z } -> ( ( F |` B ) " { x } ) =/= { Z } ) )
37	36	impancom 456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) -> ( x e. B -> ( ( F |` B ) " { x } ) =/= { Z } ) )
38	37	con3d 148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) -> ( -. ( ( F |` B ) " { x } ) =/= { Z } -> -. x e. B ) )
39	38	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. ( ( F |` B ) " { x } ) =/= { Z } /\ ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) ) -> -. x e. B )
40	26, 39	eldifd 3585	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. ( ( F |` B ) " { x } ) =/= { Z } /\ ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) ) -> x e. ( dom F \ B ) )
41	40	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( ( F |` B ) " { x } ) =/= { Z } -> ( ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) -> x e. ( dom F \ B ) ) )
42	25, 41	jaoi 394	. . . . . . . 8 |- ( ( -. x e. dom ( F |` B ) \/ -. ( ( F |` B ) " { x } ) =/= { Z } ) -> ( ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) -> x e. ( dom F \ B ) ) )
43	42	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. dom F /\ ( F " { x } ) =/= { Z } ) /\ ( -. x e. dom ( F |` B ) \/ -. ( ( F |` B ) " { x } ) =/= { Z } ) ) -> x e. ( dom F \ B ) )
44	5, 10, 43	syl2anb 496	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. dom F | ( F " { z } ) =/= { Z } } /\ -. x e. { z e. dom ( F |` B ) | ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } } ) -> x e. ( dom F \ B ) )
45	1, 44	sylbi 207	. . . . 5 |- ( x e. ( { z e. dom F | ( F " { z } ) =/= { Z } } \ { z e. dom ( F |` B ) | ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } } ) -> x e. ( dom F \ B ) )
46	45	a1i 11	. . . 4 |- ( ( F e. V /\ Z e. W ) -> ( x e. ( { z e. dom F | ( F " { z } ) =/= { Z } } \ { z e. dom ( F |` B ) | ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } } ) -> x e. ( dom F \ B ) ) )
47	46	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ( F e. V /\ Z e. W ) -> ( { z e. dom F | ( F " { z } ) =/= { Z } } \ { z e. dom ( F |` B ) | ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } } ) C_ ( dom F \ B ) )
48		ssundif 4052	. . 3 |- ( { z e. dom F | ( F " { z } ) =/= { Z } } C_ ( { z e. dom ( F |` B ) | ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } } u. ( dom F \ B ) ) <-> ( { z e. dom F | ( F " { z } ) =/= { Z } } \ { z e. dom ( F |` B ) | ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } } ) C_ ( dom F \ B ) )
49	47, 48	sylibr 224	. 2 |- ( ( F e. V /\ Z e. W ) -> { z e. dom F | ( F " { z } ) =/= { Z } } C_ ( { z e. dom ( F |` B ) | ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } } u. ( dom F \ B ) ) )
50		suppval 7297	. 2 |- ( ( F e. V /\ Z e. W ) -> ( F supp Z ) = { z e. dom F | ( F " { z } ) =/= { Z } } )
51		resexg 5442	. . . 4 |- ( F e. V -> ( F |` B ) e. _V )
52		suppval 7297	. . . 4 |- ( ( ( F |` B ) e. _V /\ Z e. W ) -> ( ( F |` B ) supp Z ) = { z e. dom ( F |` B ) | ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } } )
53	51, 52	sylan 488	. . 3 |- ( ( F e. V /\ Z e. W ) -> ( ( F |` B ) supp Z ) = { z e. dom ( F |` B ) | ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } } )
54	53	uneq1d 3766	. 2 |- ( ( F e. V /\ Z e. W ) -> ( ( ( F |` B ) supp Z ) u. ( dom F \ B ) ) = ( { z e. dom ( F |` B ) | ( ( F |` B ) " { z } ) =/= { Z } } u. ( dom F \ B ) ) )
55	49, 50, 54	3sstr4d 3648	1 |- ( ( F e. V /\ Z e. W ) -> ( F supp Z ) C_ ( ( ( F |` B ) supp Z ) u. ( dom F \ B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117  (class class class)co 6650   supp csupp 7295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-supp 7296

This theorem is referenced by:  ressuppfi  8301