Theorem reu8 3402

Description: Restricted uniqueness using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
rmo4.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
reu8	|- ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem reu8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmo4.1	. . 3 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2	1	cbvreuv 3173	. 2 |- ( E! x e. A ph <-> E! y e. A ps )
3		reu6 3395	. 2 |- ( E! y e. A ps <-> E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) )
4		dfbi2 660	. . . . 5 |- ( ( ps <-> y = x ) <-> ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )
5	4	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )
6		ancom 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) )
7		equcom 1945	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y <-> y = x )
8	7	imbi2i 326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ps -> x = y ) <-> ( ps -> y = x ) )
9	8	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) )
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) ) )
11		biimt 350	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( ph <-> ( x e. A -> ph ) ) )
12		df-ral 2917	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A ( y = x -> ps ) <-> A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) )
13		bi2.04 376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )
14	13	albii 1747	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )
15		eleq1w 2684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
16	15, 1	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( y e. A -> ps ) ) )
17	16	bicomd 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )
18	17	equcoms 1947	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )
19	18	equsalvw 1931	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) <-> ( x e. A -> ph ) )
20	12, 14, 19	3bitrri 287	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A -> ph ) <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) )
21	11, 20	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( ph <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )
22	10, 21	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )
23	6, 22	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )
24		r19.26 3064	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )
25	23, 24	syl6rbbr 279	. . . 4 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )
26	5, 25	syl5bb 272	. . 3 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )
27	26	rexbiia 3040	. 2 |- ( E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )
28	2, 3, 27	3bitri 286	1 |- ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919

This theorem is referenced by:  reu8nf  3516  reumodprminv  15509  grpinveu  17456  grpoideu  27363  grpoinveu  27373  cvmlift3lem2  31302  reuccatpfxs1  41434