Theorem grpoideu 27363

Description: The left identity element of a group is unique. Lemma 2.2.1(a) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpfo.1	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
grpoideu	|- ( G e. GrpOp -> E! u e. X A. x e. X ( u G x ) = x )

Distinct variable groups:   x, u, G   u, X, x

Proof of Theorem grpoideu

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpfo.1	. . . 4 |- X = ran G
2	1	grpoidinv 27362	. . 3 |- ( G e. GrpOp -> E. u e. X A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) )
3		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> ( u G z ) = z )
4	3	ralimi 2952	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> A. z e. X ( u G z ) = z )
5		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( u G z ) = ( u G x ) )
6		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> z = x )
7	5, 6	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( ( u G z ) = z <-> ( u G x ) = x ) )
8	7	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. X ( u G z ) = z <-> A. x e. X ( u G x ) = x )
9	4, 8	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> A. x e. X ( u G x ) = x )
10	9	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> A. x e. X ( u G x ) = x )
11	9	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> A. x e. X ( u G x ) = x )
12		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) )
13	12	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> A. z e. X E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) )
14		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = w -> ( y G z ) = ( y G w ) )
15	14	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( ( y G z ) = u <-> ( y G w ) = u ) )
16		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = w -> ( z G y ) = ( w G y ) )
17	16	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( ( z G y ) = u <-> ( w G y ) = u ) )
18	15, 17	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) <-> ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) ) )
19	18	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> ( E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) <-> E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) ) )
20	19	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. X /\ A. z e. X E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) )
21	20	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ w e. X ) /\ A. z e. X E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) )
22	13, 21	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ w e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) )
23	1	grpoidinvlem4 27361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ w e. X ) /\ E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
24	22, 23	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ w e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
25	24	an32s 846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
26	25	adantllr 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
28		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( w G x ) = ( w G u ) )
29		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> x = u )
30	28, 29	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( ( w G x ) = x <-> ( w G u ) = u ) )
31	30	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. X /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) -> ( w G u ) = u )
32	31	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) -> ( w G u ) = u )
33	32	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> ( w G u ) = u )
34	33	adantllr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> ( w G u ) = u )
35		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( u G x ) = ( u G w ) )
36		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> x = w )
37	35, 36	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( ( u G x ) = x <-> ( u G w ) = w ) )
38	37	rspcva 3307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. X /\ A. x e. X ( u G x ) = x ) -> ( u G w ) = w )
39	38	ad2ant2lr 784	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> ( u G w ) = w )
40	27, 34, 39	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> u = w )
41	40	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) -> u = w ) )
42	11, 41	mpand 711	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) )
43	42	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) )
44	10, 43	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) )
45	44	ex 450	. . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) -> ( A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) ) )
46	45	reximdva 3017	. . 3 |- ( G e. GrpOp -> ( E. u e. X A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> E. u e. X ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) ) )
47	2, 46	mpd 15	. 2 |- ( G e. GrpOp -> E. u e. X ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) )
48		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( u = w -> ( u G x ) = ( w G x ) )
49	48	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( u = w -> ( ( u G x ) = x <-> ( w G x ) = x ) )
50	49	ralbidv 2986	. . 3 |- ( u = w -> ( A. x e. X ( u G x ) = x <-> A. x e. X ( w G x ) = x ) )
51	50	reu8 3402	. 2 |- ( E! u e. X A. x e. X ( u G x ) = x <-> E. u e. X ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) )
52	47, 51	sylibr 224	1 |- ( G e. GrpOp -> E! u e. X A. x e. X ( u G x ) = x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   ran crn 5115  (class class class)co 6650   GrpOpcgr 27343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-ov 6653  df-grpo 27347

This theorem is referenced by:  grpoidval  27367  grpoidcl  27368  grpoidinv2  27369  cnidOLD  27437  hilid  28018