Theorem rexun 3793

Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexun	|- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )

Proof of Theorem rexun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2918	. 2 |- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) )
2		19.43 1810	. . 3 |- ( E. x ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) \/ E. x ( x e. B /\ ph ) ) )
3		elun 3753	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
4	3	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) )
5		andir 912	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
6	4, 5	bitri 264	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
7	6	exbii 1774	. . 3 |- ( E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> E. x ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
8		df-rex 2918	. . . 4 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
9		df-rex 2918	. . . 4 |- ( E. x e. B ph <-> E. x ( x e. B /\ ph ) )
10	8, 9	orbi12i 543	. . 3 |- ( ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) \/ E. x ( x e. B /\ ph ) ) )
11	2, 7, 10	3bitr4i 292	. 2 |- ( E. x ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )
12	1, 11	bitri 264	1 |- ( E. x e. ( A u. B ) ph <-> ( E. x e. A ph \/ E. x e. B ph ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   u. cun 3572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-v 3202  df-un 3579

This theorem is referenced by:  rexprg  4235  rextpg  4237  iunxun  4605  oarec  7642  zornn0g  9327  scshwfzeqfzo  13572  rpnnen2lem12  14954  dvdsprmpweqnn  15589  vdwlem6  15690  pmatcollpw3fi1  20593  cmpfi  21211  poimirlem25  33434  unima  39346