Theorem rpnnen2lem12 14954

Description: Lemma for rpnnen2 14955. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	|- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem12	|- ~P NN ~<_ ( 0 [,] 1 )

Distinct variable group:   x, n

Allowed substitution hints:   F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem12

Dummy variables m y z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6678	. 2 |- ( 0 [,] 1 ) e. _V
2		elpwi 4168	. . . . 5 |- ( y e. ~P NN -> y C_ NN )
3		nnuz 11723	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4	3	sumeq1i 14428	. . . . . 6 |- sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ( ( F ` y ) ` k )
5		1nn 11031	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
6		rpnnen2.1	. . . . . . . 8 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
7	6	rpnnen2lem6 14948	. . . . . . 7 |- ( ( y C_ NN /\ 1 e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ( ( F ` y ) ` k ) e. RR )
8	5, 7	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( y C_ NN -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ( ( F ` y ) ` k ) e. RR )
9	4, 8	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( y C_ NN -> sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) e. RR )
10	2, 9	syl 17	. . . 4 |- ( y e. ~P NN -> sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) e. RR )
11		1zzd 11408	. . . . 5 |- ( y e. ~P NN -> 1 e. ZZ )
12		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( y e. ~P NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` y ) ` k ) = ( ( F ` y ) ` k ) )
13	6	rpnnen2lem2 14944	. . . . . . 7 |- ( y C_ NN -> ( F ` y ) : NN --> RR )
14	2, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( y e. ~P NN -> ( F ` y ) : NN --> RR )
15	14	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( y e. ~P NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` y ) ` k ) e. RR )
16	6	rpnnen2lem5 14947	. . . . . 6 |- ( ( y C_ NN /\ 1 e. NN ) -> seq 1 ( + , ( F ` y ) ) e. dom ~~> )
17	2, 5, 16	sylancl 694	. . . . 5 |- ( y e. ~P NN -> seq 1 ( + , ( F ` y ) ) e. dom ~~> )
18		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- NN C_ NN
19	6	rpnnen2lem4 14946	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ NN /\ NN C_ NN /\ k e. NN ) -> ( 0 <_ ( ( F ` y ) ` k ) /\ ( ( F ` y ) ` k ) <_ ( ( F ` NN ) ` k ) ) )
20	18, 19	mp3an2 1412	. . . . . . 7 |- ( ( y C_ NN /\ k e. NN ) -> ( 0 <_ ( ( F ` y ) ` k ) /\ ( ( F ` y ) ` k ) <_ ( ( F ` NN ) ` k ) ) )
21	20	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( y C_ NN /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( F ` y ) ` k ) )
22	2, 21	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( y e. ~P NN /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( F ` y ) ` k ) )
23	3, 11, 12, 15, 17, 22	isumge0 14497	. . . 4 |- ( y e. ~P NN -> 0 <_ sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) )
24		halfre 11246	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR
25	24	a1i 11	. . . . 5 |- ( y e. ~P NN -> ( 1 / 2 ) e. RR )
26		1re 10039	. . . . . 6 |- 1 e. RR
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( y e. ~P NN -> 1 e. RR )
28	6	rpnnen2lem7 14949	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ NN /\ NN C_ NN /\ 1 e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ( ( F ` y ) ` k ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ( ( F ` NN ) ` k ) )
29	18, 5, 28	mp3an23 1416	. . . . . . . 8 |- ( y C_ NN -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ( ( F ` y ) ` k ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ( ( F ` NN ) ` k ) )
30	2, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P NN -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ( ( F ` y ) ` k ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ( ( F ` NN ) ` k ) )
31		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
32		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~P NN /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( F ` NN ) ` k ) = ( ( F ` NN ) ` k ) )
33		elnnuz 11724	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
34	6	rpnnen2lem2 14944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN C_ NN -> ( F ` NN ) : NN --> RR )
35	18, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ` NN ) : NN --> RR
36	35	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( F ` NN ) ` k ) e. RR )
37	36	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( F ` NN ) ` k ) e. CC )
38	33, 37	sylbir 225	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( F ` NN ) ` k ) e. CC )
39	38	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~P NN /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( F ` NN ) ` k ) e. CC )
40	6	rpnnen2lem3 14945	. . . . . . . . 9 |- seq 1 ( + , ( F ` NN ) ) ~~> ( 1 / 2 )
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P NN -> seq 1 ( + , ( F ` NN ) ) ~~> ( 1 / 2 ) )
42	31, 11, 32, 39, 41	isumclim 14488	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P NN -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ( ( F ` NN ) ` k ) = ( 1 / 2 ) )
43	30, 42	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( y e. ~P NN -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ( ( F ` y ) ` k ) <_ ( 1 / 2 ) )
44	4, 43	syl5eqbr 4688	. . . . 5 |- ( y e. ~P NN -> sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) <_ ( 1 / 2 ) )
45		halflt1 11250	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
46	24, 26, 45	ltleii 10160	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
47	46	a1i 11	. . . . 5 |- ( y e. ~P NN -> ( 1 / 2 ) <_ 1 )
48	10, 25, 27, 44, 47	letrd 10194	. . . 4 |- ( y e. ~P NN -> sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) <_ 1 )
49		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
50	49, 26	elicc2i 12239	. . . 4 |- ( sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) /\ sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) <_ 1 ) )
51	10, 23, 48, 50	syl3anbrc 1246	. . 3 |- ( y e. ~P NN -> sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) e. ( 0 [,] 1 ) )
52		elpwi 4168	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ~P NN -> z C_ NN )
53		ssdifss 3741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ NN -> ( y \ z ) C_ NN )
54		ssdifss 3741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ NN -> ( z \ y ) C_ NN )
55		unss 3787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y \ z ) C_ NN /\ ( z \ y ) C_ NN ) <-> ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) C_ NN )
56	55	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y \ z ) C_ NN /\ ( z \ y ) C_ NN ) -> ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) C_ NN )
57	53, 54, 56	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) -> ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) C_ NN )
58	2, 52, 57	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ~P NN /\ z e. ~P NN ) -> ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) C_ NN )
59		eqss 3618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z <-> ( y C_ z /\ z C_ y ) )
60		ssdif0 3942	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y C_ z <-> ( y \ z ) = (/) )
61		ssdif0 3942	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z C_ y <-> ( z \ y ) = (/) )
62	60, 61	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y C_ z /\ z C_ y ) <-> ( ( y \ z ) = (/) /\ ( z \ y ) = (/) ) )
63		un00 4011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y \ z ) = (/) /\ ( z \ y ) = (/) ) <-> ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) = (/) )
64	59, 62, 63	3bitri 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z <-> ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) = (/) )
65	64	necon3bii 2846	. . . . . . . . . . 11 |- ( y =/= z <-> ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) =/= (/) )
66	65	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( y =/= z -> ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) =/= (/) )
67		nnwo 11753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) C_ NN /\ ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) =/= (/) ) -> E. m e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) A. n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) m <_ n )
68	58, 66, 67	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ~P NN /\ z e. ~P NN ) /\ y =/= z ) -> E. m e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) A. n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) m <_ n )
69	68	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~P NN /\ z e. ~P NN ) -> ( y =/= z -> E. m e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) A. n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) m <_ n ) )
70	58	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ~P NN /\ z e. ~P NN ) /\ m e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) ) -> m e. NN )
71		df-ral 2917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) m <_ n <-> A. n ( n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) -> m <_ n ) )
72		con34b 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) -> m <_ n ) <-> ( -. m <_ n -> -. n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) ) )
73		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( y \ z ) <-> ( n e. y /\ -. n e. z ) )
74		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( z \ y ) <-> ( n e. z /\ -. n e. y ) )
75	73, 74	orbi12i 543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( y \ z ) \/ n e. ( z \ y ) ) <-> ( ( n e. y /\ -. n e. z ) \/ ( n e. z /\ -. n e. y ) ) )
76		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) <-> ( n e. ( y \ z ) \/ n e. ( z \ y ) ) )
77		xor 935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( n e. y <-> n e. z ) <-> ( ( n e. y /\ -. n e. z ) \/ ( n e. z /\ -. n e. y ) ) )
78	75, 76, 77	3bitr4ri 293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( n e. y <-> n e. z ) <-> n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) )
79	78	con1bii 346	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) <-> ( n e. y <-> n e. z ) )
80	79	imbi2i 326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. m <_ n -> -. n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) ) <-> ( -. m <_ n -> ( n e. y <-> n e. z ) ) )
81	72, 80	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) -> m <_ n ) <-> ( -. m <_ n -> ( n e. y <-> n e. z ) ) )
82	81	albii 1747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n ( n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) -> m <_ n ) <-> A. n ( -. m <_ n -> ( n e. y <-> n e. z ) ) )
83	71, 82	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) m <_ n <-> A. n ( -. m <_ n -> ( n e. y <-> n e. z ) ) )
84		alral 2928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n ( -. m <_ n -> ( n e. y <-> n e. z ) ) -> A. n e. NN ( -. m <_ n -> ( n e. y <-> n e. z ) ) )
85		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n e. RR )
86		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. RR )
87		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. RR /\ m e. RR ) -> ( n < m <-> -. m <_ n ) )
88	85, 86, 87	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. NN /\ n e. NN ) -> ( n < m <-> -. m <_ n ) )
89	88	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN /\ n e. NN ) -> ( ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) <-> ( -. m <_ n -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) )
90	89	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) <-> A. n e. NN ( -. m <_ n -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) )
91	84, 90	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( A. n ( -. m <_ n -> ( n e. y <-> n e. z ) ) -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) )
92	83, 91	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( A. n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) m <_ n -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) )
93	70, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ~P NN /\ z e. ~P NN ) /\ m e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) ) -> ( A. n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) m <_ n -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) )
94	93	reximdva 3017	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~P NN /\ z e. ~P NN ) -> ( E. m e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) A. n e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) m <_ n -> E. m e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) )
95	69, 94	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ~P NN /\ z e. ~P NN ) -> ( y =/= z -> E. m e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) )
96		rexun 3793	. . . . . . 7 |- ( E. m e. ( ( y \ z ) u. ( z \ y ) ) A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) <-> ( E. m e. ( y \ z ) A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) \/ E. m e. ( z \ y ) A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) )
97	95, 96	syl6ib 241	. . . . . 6 |- ( ( y e. ~P NN /\ z e. ~P NN ) -> ( y =/= z -> ( E. m e. ( y \ z ) A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) \/ E. m e. ( z \ y ) A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) ) )
98		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) /\ ( m e. ( y \ z ) /\ A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) ) -> y C_ NN )
99		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) /\ ( m e. ( y \ z ) /\ A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) ) -> z C_ NN )
100		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) /\ ( m e. ( y \ z ) /\ A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) ) -> m e. ( y \ z ) )
101		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) /\ ( m e. ( y \ z ) /\ A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) ) -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) )
102		biid 251	. . . . . . . . . 10 |- ( sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` z ) ` k ) <-> sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` z ) ` k ) )
103	6, 98, 99, 100, 101, 102	rpnnen2lem11 14953	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) /\ ( m e. ( y \ z ) /\ A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) ) -> -. sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` z ) ` k ) )
104	103	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) -> ( E. m e. ( y \ z ) A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) -> -. sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` z ) ` k ) ) )
105		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) /\ ( m e. ( z \ y ) /\ A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) ) -> z C_ NN )
106		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) /\ ( m e. ( z \ y ) /\ A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) ) -> y C_ NN )
107		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) /\ ( m e. ( z \ y ) /\ A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) ) -> m e. ( z \ y ) )
108		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) /\ ( m e. ( z \ y ) /\ A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) ) -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) )
109		bicom 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. z <-> n e. y ) <-> ( n e. y <-> n e. z ) )
110	109	imbi2i 326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n < m -> ( n e. z <-> n e. y ) ) <-> ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) )
111	110	ralbii 2980	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. NN ( n < m -> ( n e. z <-> n e. y ) ) <-> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) )
112	108, 111	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) /\ ( m e. ( z \ y ) /\ A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) ) -> A. n e. NN ( n < m -> ( n e. z <-> n e. y ) ) )
113		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` z ) ` k ) <-> sum_ k e. NN ( ( F ` z ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) )
114	6, 105, 106, 107, 112, 113	rpnnen2lem11 14953	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) /\ ( m e. ( z \ y ) /\ A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) ) -> -. sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` z ) ` k ) )
115	114	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) -> ( E. m e. ( z \ y ) A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) -> -. sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` z ) ` k ) ) )
116	104, 115	jaod 395	. . . . . . 7 |- ( ( y C_ NN /\ z C_ NN ) -> ( ( E. m e. ( y \ z ) A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) \/ E. m e. ( z \ y ) A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) -> -. sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` z ) ` k ) ) )
117	2, 52, 116	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( y e. ~P NN /\ z e. ~P NN ) -> ( ( E. m e. ( y \ z ) A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) \/ E. m e. ( z \ y ) A. n e. NN ( n < m -> ( n e. y <-> n e. z ) ) ) -> -. sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` z ) ` k ) ) )
118	97, 117	syld 47	. . . . 5 |- ( ( y e. ~P NN /\ z e. ~P NN ) -> ( y =/= z -> -. sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` z ) ` k ) ) )
119	118	necon4ad 2813	. . . 4 |- ( ( y e. ~P NN /\ z e. ~P NN ) -> ( sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` z ) ` k ) -> y = z ) )
120		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
121	120	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( F ` y ) ` k ) = ( ( F ` z ) ` k ) )
122	121	sumeq2sdv 14435	. . . 4 |- ( y = z -> sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` z ) ` k ) )
123	119, 122	impbid1 215	. . 3 |- ( ( y e. ~P NN /\ z e. ~P NN ) -> ( sum_ k e. NN ( ( F ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN ( ( F ` z ) ` k ) <-> y = z ) )
124	51, 123	dom2 7998	. 2 |- ( ( 0 [,] 1 ) e. _V -> ~P NN ~<_ ( 0 [,] 1 ) )
125	1, 124	ax-mp 5	1 |- ~P NN ~<_ ( 0 [,] 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~<_ cdom 7953   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   ZZ>=cuz 11687   [,]cicc 12178   seqcseq 12801   ^cexp 12860   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  rpnnen2  14955