Theorem riotasvd 34242

Description: Deduction version of riotasv 34245. (Contributed by NM, 4-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
riotasvd.1	|- ( ph -> D = ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) )
riotasvd.2	|- ( ph -> D e. A )

Assertion

Ref	Expression
riotasvd	|- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( ( y e. B /\ ps ) -> D = C ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B   x, C   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( y)   B( y)   C( y)   D( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem riotasvd

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riotasvd.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D = ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) )
2	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> D = ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) )
3		riotasvd.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. A )
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> D e. A )
5	2, 4	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) e. A )
6		riotaclbgBAD 34240	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( E! x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) <-> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) e. A ) )
7	6	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( E! x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) <-> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) e. A ) )
8	5, 7	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> E! x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) )
9		riotasbc 6626	. . . . . 6 |- ( E! x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) -> [. ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) / x ]. A. y e. B ( ps -> x = C ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> [. ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) / x ]. A. y e. B ( ps -> x = C ) )
11		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x = C <-> z = C ) )
12	11	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( ps -> x = C ) <-> ( ps -> z = C ) ) )
13	12	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( A. y e. B ( ps -> x = C ) <-> A. y e. B ( ps -> z = C ) ) )
14		nfra1 2941	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. y e. B ( ps -> x = C )
15		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y A
16	14, 15	nfriota 6620	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) )
17	16	nfeq2 2780	. . . . . . . 8 |- F/ y z = ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) )
18		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) -> ( z = C <-> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) )
19	18	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( z = ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) -> ( ( ps -> z = C ) <-> ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) )
20	17, 19	ralbid 2983	. . . . . . 7 |- ( z = ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) -> ( A. y e. B ( ps -> z = C ) <-> A. y e. B ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) )
21	13, 20	sbcie2g 3469	. . . . . 6 |- ( ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) e. A -> ( [. ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) / x ]. A. y e. B ( ps -> x = C ) <-> A. y e. B ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) )
22	5, 21	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( [. ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) / x ]. A. y e. B ( ps -> x = C ) <-> A. y e. B ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) )
23	10, 22	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> A. y e. B ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) )
24		rsp 2929	. . . 4 |- ( A. y e. B ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) -> ( y e. B -> ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) )
25	23, 24	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( y e. B -> ( ps -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) ) )
26	25	impd 447	. 2 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( ( y e. B /\ ps ) -> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) )
27	2	eqeq1d 2624	. 2 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( D = C <-> ( iota_ x e. A A. y e. B ( ps -> x = C ) ) = C ) )
28	26, 27	sylibrd 249	1 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( ( y e. B /\ ps ) -> D = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   [.wsbc 3435   iota_crio 6610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-riota 6611  df-undef 7399

This theorem is referenced by:  riotasv2d  34243  riotasv  34245  riotasv3d  34246  cdleme32a  35729