Theorem rlimcn1 14319

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn1.1	|- ( ph -> G : A --> X )
rlimcn1.2	|- ( ph -> C e. X )
rlimcn1.3	|- ( ph -> G ~~> r C )
rlimcn1.4	|- ( ph -> F : X --> CC )
rlimcn1.5	|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. X ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) )

Assertion

Ref	Expression
rlimcn1	|- ( ph -> ( F o. G ) ~~> r ( F ` C ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, z, F, y   x, G, y, z   ph, x, y   x, C, y, z   z, X

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)   X( x, y)

Proof of Theorem rlimcn1

Dummy variables w c v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn1.1	. . . 4 |- ( ph -> G : A --> X )
2	1	ffvelrnda 6359	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( G ` w ) e. X )
3	1	feqmptd 6249	. . 3 |- ( ph -> G = ( w e. A |-> ( G ` w ) ) )
4		rlimcn1.4	. . . 4 |- ( ph -> F : X --> CC )
5	4	feqmptd 6249	. . 3 |- ( ph -> F = ( v e. X |-> ( F ` v ) ) )
6		fveq2 6191	. . 3 |- ( v = ( G ` w ) -> ( F ` v ) = ( F ` ( G ` w ) ) )
7	2, 3, 5, 6	fmptco 6396	. 2 |- ( ph -> ( F o. G ) = ( w e. A |-> ( F ` ( G ` w ) ) ) )
8		rlimcn1.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. X ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) )
9		fvexd 6203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) /\ w e. A ) -> ( G ` w ) e. _V )
10	9	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> A. w e. A ( G ` w ) e. _V )
11		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
12		rlimcn1.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G ~~> r C )
13	3, 12	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( w e. A |-> ( G ` w ) ) ~~> r C )
14	13	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( w e. A |-> ( G ` w ) ) ~~> r C )
15	10, 11, 14	rlimi 14244	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> E. c e. RR A. w e. A ( c <_ w -> ( abs ` ( ( G ` w ) - C ) ) < y ) )
16		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ A. z e. X ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) ) -> ph )
17	16, 2	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ A. z e. X ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) ) /\ w e. A ) -> ( G ` w ) e. X )
18		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ A. z e. X ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) ) /\ w e. A ) -> A. z e. X ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) )
19		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( G ` w ) -> ( z - C ) = ( ( G ` w ) - C ) )
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( G ` w ) -> ( abs ` ( z - C ) ) = ( abs ` ( ( G ` w ) - C ) ) )
21	20	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( G ` w ) -> ( ( abs ` ( z - C ) ) < y <-> ( abs ` ( ( G ` w ) - C ) ) < y ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( G ` w ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( G ` w ) ) )
23	22	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( G ` w ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) = ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) )
24	23	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( G ` w ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) ) )
25	24	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( G ` w ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) ) < x ) )
26	21, 25	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( G ` w ) -> ( ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) <-> ( ( abs ` ( ( G ` w ) - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) )
27	26	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` w ) e. X -> ( A. z e. X ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) -> ( ( abs ` ( ( G ` w ) - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) )
28	17, 18, 27	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ A. z e. X ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( abs ` ( ( G ` w ) - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) ) < x ) )
29	28	imim2d 57	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ A. z e. X ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) ) /\ w e. A ) -> ( ( c <_ w -> ( abs ` ( ( G ` w ) - C ) ) < y ) -> ( c <_ w -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) )
30	29	ralimdva 2962	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ A. z e. X ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) ) -> ( A. w e. A ( c <_ w -> ( abs ` ( ( G ` w ) - C ) ) < y ) -> A. w e. A ( c <_ w -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) )
31	30	reximdv 3016	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( y e. RR+ /\ A. z e. X ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) ) -> ( E. c e. RR A. w e. A ( c <_ w -> ( abs ` ( ( G ` w ) - C ) ) < y ) -> E. c e. RR A. w e. A ( c <_ w -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) )
32	31	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. X ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) -> ( E. c e. RR A. w e. A ( c <_ w -> ( abs ` ( ( G ` w ) - C ) ) < y ) -> E. c e. RR A. w e. A ( c <_ w -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) ) )
33	15, 32	mpid 44	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. X ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) -> E. c e. RR A. w e. A ( c <_ w -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) )
34	33	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. X ( ( abs ` ( z - C ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) ) < x ) -> E. c e. RR A. w e. A ( c <_ w -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) )
35	8, 34	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. c e. RR A. w e. A ( c <_ w -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) ) < x ) )
36	35	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. c e. RR A. w e. A ( c <_ w -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) ) < x ) )
37	4	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. X ) -> ( F ` ( G ` w ) ) e. CC )
38	2, 37	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( F ` ( G ` w ) ) e. CC )
39	38	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. w e. A ( F ` ( G ` w ) ) e. CC )
40		fdm 6051	. . . . . 6 |- ( G : A --> X -> dom G = A )
41	1, 40	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> dom G = A )
42		rlimss 14233	. . . . . 6 |- ( G ~~> r C -> dom G C_ RR )
43	12, 42	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> dom G C_ RR )
44	41, 43	eqsstr3d 3640	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
45		rlimcn1.2	. . . . 5 |- ( ph -> C e. X )
46	4, 45	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
47	39, 44, 46	rlim2 14227	. . 3 |- ( ph -> ( ( w e. A |-> ( F ` ( G ` w ) ) ) ~~> r ( F ` C ) <-> A. x e. RR+ E. c e. RR A. w e. A ( c <_ w -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` w ) ) - ( F ` C ) ) ) < x ) ) )
48	36, 47	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( w e. A |-> ( F ` ( G ` w ) ) ) ~~> r ( F ` C ) )
49	7, 48	eqbrtrd 4675	1 |- ( ph -> ( F o. G ) ~~> r ( F ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-pm 7860  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  rlimcn1b  14320  rlimdiv  14376