Theorem o1compt 14318

Description: Sufficient condition for transforming the index set of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1compt.1	|- ( ph -> F : A --> CC )
o1compt.2	|- ( ph -> F e. O(1) )
o1compt.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> C e. A )
o1compt.4	|- ( ph -> B C_ RR )
o1compt.5	|- ( ( ph /\ m e. RR ) -> E. x e. RR A. y e. B ( x <_ y -> m <_ C ) )

Assertion

Ref	Expression
o1compt	|- ( ph -> ( F o. ( y e. B |-> C ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, A   B, m, x, y   C, m, x   ph, m, x, y   m, F, x

Allowed substitution hints:   C( y)   F( y)

Proof of Theorem o1compt

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1compt.1	. 2 |- ( ph -> F : A --> CC )
2		o1compt.2	. 2 |- ( ph -> F e. O(1) )
3		o1compt.3	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> C e. A )
4		eqid 2622	. . 3 |- ( y e. B |-> C ) = ( y e. B |-> C )
5	3, 4	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> ( y e. B |-> C ) : B --> A )
6		o1compt.4	. 2 |- ( ph -> B C_ RR )
7		o1compt.5	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. RR ) -> E. x e. RR A. y e. B ( x <_ y -> m <_ C ) )
8		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ y x <_ z
9		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ y m
10		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ y <_
11		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( ( y e. B |-> C ) ` z )
12	9, 10, 11	nfbr 4699	. . . . . . . 8 |- F/ y m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` z )
13	8, 12	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ y ( x <_ z -> m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` z ) )
14		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ z ( x <_ y -> m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` y ) )
15		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( x <_ z <-> x <_ y ) )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( ( y e. B |-> C ) ` z ) = ( ( y e. B |-> C ) ` y ) )
17	16	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` z ) <-> m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` y ) ) )
18	15, 17	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( x <_ z -> m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` z ) ) <-> ( x <_ y -> m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` y ) ) ) )
19	13, 14, 18	cbvral 3167	. . . . . 6 |- ( A. z e. B ( x <_ z -> m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` z ) ) <-> A. y e. B ( x <_ y -> m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` y ) ) )
20		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. B )
21	4	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. B /\ C e. A ) -> ( ( y e. B |-> C ) ` y ) = C )
22	20, 3, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( ( y e. B |-> C ) ` y ) = C )
23	22	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` y ) <-> m <_ C ) )
24	23	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( ( x <_ y -> m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` y ) ) <-> ( x <_ y -> m <_ C ) ) )
25	24	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. B ( x <_ y -> m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` y ) ) <-> A. y e. B ( x <_ y -> m <_ C ) ) )
26	19, 25	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. B ( x <_ z -> m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` z ) ) <-> A. y e. B ( x <_ y -> m <_ C ) ) )
27	26	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. z e. B ( x <_ z -> m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` z ) ) <-> E. x e. RR A. y e. B ( x <_ y -> m <_ C ) ) )
28	27	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. RR ) -> ( E. x e. RR A. z e. B ( x <_ z -> m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` z ) ) <-> E. x e. RR A. y e. B ( x <_ y -> m <_ C ) ) )
29	7, 28	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ m e. RR ) -> E. x e. RR A. z e. B ( x <_ z -> m <_ ( ( y e. B |-> C ) ` z ) ) )
30	1, 2, 5, 6, 29	o1co 14317	1 |- ( ph -> ( F o. ( y e. B |-> C ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888   CCcc 9934   RRcr 9935   <_ cle 10075   O(1)co1 14217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-o1 14221

This theorem is referenced by:  dchrisum0  25209