Theorem rlim2 14227

Description: Rewrite rlim 14226 for a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim2.1	|- ( ph -> A. z e. A B e. CC )
rlim2.2	|- ( ph -> A C_ RR )
rlim2.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
rlim2	|- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r C <-> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y   x, C, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   B( z)

Proof of Theorem rlim2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim2.1	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. A B e. CC )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( z e. A |-> B ) = ( z e. A |-> B )
3	2	fmpt 6381	. . . 4 |- ( A. z e. A B e. CC <-> ( z e. A |-> B ) : A --> CC )
4	1, 3	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> ( z e. A |-> B ) : A --> CC )
5		rlim2.2	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
6		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( ( z e. A |-> B ) ` w ) = ( ( z e. A |-> B ) ` w ) )
7	4, 5, 6	rlim 14226	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r C <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. w e. A ( y <_ w -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C ) ) < x ) ) ) )
8		rlim2.3	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
9	8	biantrurd 529	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR A. w e. A ( y <_ w -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C ) ) < x ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. w e. A ( y <_ w -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C ) ) < x ) ) ) )
10		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ z y <_ w
11		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ z abs
12		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z ( ( z e. A |-> B ) ` w )
13		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z -
14		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z C
15	12, 13, 14	nfov 6676	. . . . . . . . 9 |- F/_ z ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C )
16	11, 15	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ z ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C ) )
17		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ z <
18		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ z x
19	16, 17, 18	nfbr 4699	. . . . . . 7 |- F/ z ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C ) ) < x
20	10, 19	nfim 1825	. . . . . 6 |- F/ z ( y <_ w -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C ) ) < x )
21		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ w ( y <_ z -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` z ) - C ) ) < x )
22		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( y <_ w <-> y <_ z ) )
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( ( z e. A |-> B ) ` w ) = ( ( z e. A |-> B ) ` z ) )
24	23	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C ) = ( ( ( z e. A |-> B ) ` z ) - C ) )
25	24	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C ) ) = ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` z ) - C ) ) )
26	25	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` z ) - C ) ) < x ) )
27	22, 26	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( ( y <_ w -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C ) ) < x ) <-> ( y <_ z -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` z ) - C ) ) < x ) ) )
28	20, 21, 27	cbvral 3167	. . . . 5 |- ( A. w e. A ( y <_ w -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C ) ) < x ) <-> A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` z ) - C ) ) < x ) )
29	2	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A /\ B e. CC ) -> ( ( z e. A |-> B ) ` z ) = B )
30	29	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. A /\ B e. CC ) -> ( ( ( z e. A |-> B ) ` z ) - C ) = ( B - C ) )
31	30	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. A /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` z ) - C ) ) = ( abs ` ( B - C ) ) )
32	31	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` z ) - C ) ) < x <-> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) )
33	32	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( ( z e. A /\ B e. CC ) -> ( ( y <_ z -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` z ) - C ) ) < x ) <-> ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
34	33	ralimiaa 2951	. . . . . 6 |- ( A. z e. A B e. CC -> A. z e. A ( ( y <_ z -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` z ) - C ) ) < x ) <-> ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
35		ralbi 3068	. . . . . 6 |- ( A. z e. A ( ( y <_ z -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` z ) - C ) ) < x ) <-> ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) -> ( A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` z ) - C ) ) < x ) <-> A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
36	1, 34, 35	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` z ) - C ) ) < x ) <-> A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
37	28, 36	syl5bb 272	. . . 4 |- ( ph -> ( A. w e. A ( y <_ w -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C ) ) < x ) <-> A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
38	37	rexbidv 3052	. . 3 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. w e. A ( y <_ w -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C ) ) < x ) <-> E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
39	38	ralbidv 2986	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR A. w e. A ( y <_ w -> ( abs ` ( ( ( z e. A |-> B ) ` w ) - C ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
40	7, 9, 39	3bitr2d 296	1 |- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r C <-> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-pm 7860  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  rlim2lt  14228  rlim3  14229  rlim0  14239  rlimi  14244  rlimconst  14275  climrlim2  14278  rlimcn1  14319  rlimcn2  14321  chtppilim  25164  pntlem3  25298