Theorem rlimdiv 14376

Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimadd.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
rlimadd.4	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V )
rlimadd.5	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) ~~> r D )
rlimadd.6	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E )
rlimdiv.7	|- ( ph -> E =/= 0 )
rlimdiv.8	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
rlimdiv	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( B / C ) ) ~~> r ( D / E ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, D   ph, x   x, E

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   V( x)

Proof of Theorem rlimdiv

Dummy variables w v y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimadd.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
2		rlimadd.5	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) ~~> r D )
3	1, 2	rlimmptrcl 14338	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
4		rlimadd.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V )
5		rlimadd.6	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) ~~> r E )
6	4, 5	rlimmptrcl 14338	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
7		rlimdiv.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C =/= 0 )
8	6, 7	reccld 10794	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 1 / C ) e. CC )
9		eldifsn 4317	. . . . . . 7 |- ( C e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( C e. CC /\ C =/= 0 ) )
10	6, 7, 9	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. ( CC \ { 0 } ) )
11		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
12	10, 11	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) : A --> ( CC \ { 0 } ) )
13		rlimcl 14234	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> C ) ~~> r E -> E e. CC )
14	5, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. CC )
15		rlimdiv.7	. . . . . 6 |- ( ph -> E =/= 0 )
16		eldifsn 4317	. . . . . 6 |- ( E e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( E e. CC /\ E =/= 0 ) )
17	14, 15, 16	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ( CC \ { 0 } ) )
18		eldifsn 4317	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( y e. CC /\ y =/= 0 ) )
19		reccl 10692	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / y ) e. CC )
20	18, 19	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( y e. ( CC \ { 0 } ) -> ( 1 / y ) e. CC )
21	20	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( 1 / y ) e. CC )
22		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) = ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) )
23	21, 22	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) : ( CC \ { 0 } ) --> CC )
24		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( if ( 1 <_ ( ( abs ` E ) x. z ) , 1 , ( ( abs ` E ) x. z ) ) x. ( ( abs ` E ) / 2 ) ) = ( if ( 1 <_ ( ( abs ` E ) x. z ) , 1 , ( ( abs ` E ) x. z ) ) x. ( ( abs ` E ) / 2 ) )
25	24	reccn2 14327	. . . . . . 7 |- ( ( E e. ( CC \ { 0 } ) /\ z e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. v e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( v - E ) ) < w -> ( abs ` ( ( 1 / v ) - ( 1 / E ) ) ) < z ) )
26	17, 25	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. v e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( v - E ) ) < w -> ( abs ` ( ( 1 / v ) - ( 1 / E ) ) ) < z ) )
27		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = v -> ( 1 / y ) = ( 1 / v ) )
28		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 / v ) e. _V
29	27, 22, 28	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` v ) = ( 1 / v ) )
30		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = E -> ( 1 / y ) = ( 1 / E ) )
31		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / E ) e. _V
32	30, 22, 31	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` E ) = ( 1 / E ) )
33	17, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` E ) = ( 1 / E ) )
34	29, 33	oveqan12rd 6670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` v ) - ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` E ) ) = ( ( 1 / v ) - ( 1 / E ) ) )
35	34	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` v ) - ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` E ) ) ) = ( abs ` ( ( 1 / v ) - ( 1 / E ) ) ) )
36	35	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` v ) - ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` E ) ) ) < z <-> ( abs ` ( ( 1 / v ) - ( 1 / E ) ) ) < z ) )
37	36	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( abs ` ( v - E ) ) < w -> ( abs ` ( ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` v ) - ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` E ) ) ) < z ) <-> ( ( abs ` ( v - E ) ) < w -> ( abs ` ( ( 1 / v ) - ( 1 / E ) ) ) < z ) ) )
38	37	ralbidva 2985	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. v e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( v - E ) ) < w -> ( abs ` ( ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` v ) - ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` E ) ) ) < z ) <-> A. v e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( v - E ) ) < w -> ( abs ` ( ( 1 / v ) - ( 1 / E ) ) ) < z ) ) )
39	38	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. w e. RR+ A. v e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( v - E ) ) < w -> ( abs ` ( ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` v ) - ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` E ) ) ) < z ) <-> E. w e. RR+ A. v e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( v - E ) ) < w -> ( abs ` ( ( 1 / v ) - ( 1 / E ) ) ) < z ) ) )
40	39	biimpar 502	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. w e. RR+ A. v e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( v - E ) ) < w -> ( abs ` ( ( 1 / v ) - ( 1 / E ) ) ) < z ) ) -> E. w e. RR+ A. v e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( v - E ) ) < w -> ( abs ` ( ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` v ) - ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` E ) ) ) < z ) )
41	26, 40	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. v e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( v - E ) ) < w -> ( abs ` ( ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` v ) - ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` E ) ) ) < z ) )
42	12, 17, 5, 23, 41	rlimcn1 14319	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) o. ( x e. A |-> C ) ) ~~> r ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) ` E ) )
43		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C ) )
44		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) = ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) )
45		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( y = C -> ( 1 / y ) = ( 1 / C ) )
46	10, 43, 44, 45	fmptco 6396	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / y ) ) o. ( x e. A |-> C ) ) = ( x e. A |-> ( 1 / C ) ) )
47	42, 46, 33	3brtr3d 4684	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( 1 / C ) ) ~~> r ( 1 / E ) )
48	3, 8, 2, 47	rlimmul 14375	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( B x. ( 1 / C ) ) ) ~~> r ( D x. ( 1 / E ) ) )
49	3, 6, 7	divrecd 10804	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B / C ) = ( B x. ( 1 / C ) ) )
50	49	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( B / C ) ) = ( x e. A |-> ( B x. ( 1 / C ) ) ) )
51		rlimcl 14234	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> B ) ~~> r D -> D e. CC )
52	2, 51	syl 17	. . 3 |- ( ph -> D e. CC )
53	52, 14, 15	divrecd 10804	. 2 |- ( ph -> ( D / E ) = ( D x. ( 1 / E ) ) )
54	48, 50, 53	3brtr4d 4685	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( B / C ) ) ~~> r ( D / E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  logexprlim  24950  chebbnd2  25166  chto1lb  25167  pnt2  25302  pnt  25303