Theorem setrec2lem2 42441

Description: Lemma for setrec2 42442. The functional part of F is a function. (Contributed by Emmett Weisz, 6-Mar-2021.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
setrec2lem2	|- Fun ( F |` { x | E! y x F y } )

Distinct variable group:   x, y, F

Proof of Theorem setrec2lem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5426	. 2 |- Rel ( F |` { x | E! y x F y } )
2		fvex 6201	. . . . 5 |- ( F ` x ) e. _V
3		eqeq2 2633	. . . . . . 7 |- ( z = ( F ` x ) -> ( y = z <-> y = ( F ` x ) ) )
4	3	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( z = ( F ` x ) -> ( ( x ( F |` { x | E! y x F y } ) y -> y = z ) <-> ( x ( F |` { x | E! y x F y } ) y -> y = ( F ` x ) ) ) )
5	4	albidv 1849	. . . . 5 |- ( z = ( F ` x ) -> ( A. y ( x ( F |` { x | E! y x F y } ) y -> y = z ) <-> A. y ( x ( F |` { x | E! y x F y } ) y -> y = ( F ` x ) ) ) )
6	2, 5	spcev 3300	. . . 4 |- ( A. y ( x ( F |` { x | E! y x F y } ) y -> y = ( F ` x ) ) -> E. z A. y ( x ( F |` { x | E! y x F y } ) y -> y = z ) )
7		vex 3203	. . . . . 6 |- y e. _V
8	7	brres 5402	. . . . 5 |- ( x ( F |` { x | E! y x F y } ) y <-> ( x F y /\ x e. { x | E! y x F y } ) )
9		abid 2610	. . . . . . 7 |- ( x e. { x | E! y x F y } <-> E! y x F y )
10		tz6.12-1 6210	. . . . . . 7 |- ( ( x F y /\ E! y x F y ) -> ( F ` x ) = y )
11	9, 10	sylan2b 492	. . . . . 6 |- ( ( x F y /\ x e. { x | E! y x F y } ) -> ( F ` x ) = y )
12	11	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( x F y /\ x e. { x | E! y x F y } ) -> y = ( F ` x ) )
13	8, 12	sylbi 207	. . . 4 |- ( x ( F |` { x | E! y x F y } ) y -> y = ( F ` x ) )
14	6, 13	mpg 1724	. . 3 |- E. z A. y ( x ( F |` { x | E! y x F y } ) y -> y = z )
15	14	ax-gen 1722	. 2 |- A. x E. z A. y ( x ( F |` { x | E! y x F y } ) y -> y = z )
16		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ x F
17		nfab1 2766	. . . 4 |- F/_ x { x | E! y x F y }
18	16, 17	nfres 5398	. . 3 |- F/_ x ( F |` { x | E! y x F y } )
19		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ y F
20		nfeu1 2480	. . . . 5 |- F/ y E! y x F y
21	20	nfab 2769	. . . 4 |- F/_ y { x | E! y x F y }
22	19, 21	nfres 5398	. . 3 |- F/_ y ( F |` { x | E! y x F y } )
23		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ z ( F |` { x | E! y x F y } )
24	18, 22, 23	dffun3f 42429	. 2 |- ( Fun ( F |` { x | E! y x F y } ) <-> ( Rel ( F |` { x | E! y x F y } ) /\ A. x E. z A. y ( x ( F |` { x | E! y x F y } ) y -> y = z ) ) )
25	1, 15, 24	mpbir2an 955	1 |- Fun ( F |` { x | E! y x F y } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   {cab 2608   class class class wbr 4653   |` cres 5116   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  setrec2  42442